f111
| 11 |
|---|
المشاكل المحتملة الناتجة عن اختيار نظام إحداثيات.
...سنتحدث عن المخاطر التي تنشأ عند تطبيق نظام إحداثيات على حل هندسي، وتعبير عن هذا الحل ضمن نظام إحداثيات معين: من الضروري أن يكون هذا النظام مناسبًا. عندما ننظر إلى الحل أعلاه، بافتراض أن هذه الهندسة تمثل حلًا لمعادلة مجال، فإن استخدام نظام إحداثيات (r, q) يفترض أن التوبولوجيا "كروية محليًا"، بطبيعة الحال في بعدين. أي أن داخل أي دائرة "مركزها على هذا المركز الهندسي الافتراضي" يمكن دائمًا تضمين دائرة أصغر، حتى تصبح هذه الدائرة نقطة. من الناحية الرياضية، نقول إن كل دائرة نصف قطرها r تحدد "خلية يمكن انكماشها".
...في 3 أبعاد، بشكل محلي، سيكون الكون "كالدمى الروسية المتشابكة". داخل كرة يمكن دائمًا تضمين كرة ذات مساحة أصغر. في 3 أبعاد، يُعد هذا نوعًا من التوبولوجيا الكروية المحلية.
هل يمكن أن يكون الأمر مختلفًا؟
نعم، إذا كانت توبولوجيا السطح "حلقيّة محليًا". في بعدين سيكون الشكل كالتالي:
...ملاحظة: الشكل في الصورة أعلاه هو سطح ثنائي الأبعاد، بمعنى أننا نحتاج إلى معلمتين لتحديد موقع نقطة عليه. وبهذا المعنى، تكون المنحنى "سطحًا أحادي البعد". عندما يتحدث الهندسي عن الدائرة، يستخدم التعبير "الكرة S1"، أي "الكرة ذات بعد واحد": نحتاج إلى معلمة واحدة فقط، وهي الإحداثي، لتحديد نقطة على منحنى، وهو كائن أحادي البعد. أما الكرة S2، والكرة "العادية"، والدائرة، الكرة S1، فلها شيء مشترك: هي كائنات "مغلقة" (مفهوم استُلهم من التوبولوجيا).
...عدد الكميات المستخدمة لتحديد موقع نقطة في فضاء هو بالضبط تعريف بعد هذا الفضاء. وبالتالي، يُنظر إلى الفضاء-الزمن (x, y, z, t) على أنه سطح فائق أبعاد باربعة أبعاد، لأننا نحتاج إلى أربع كميات لتحديد نقطة، تُسمى "حدثًا".
انتهاء هذه الملاحظة حول مفهوم البعد.
...يجب أن نتذكر دائمًا شيئًا واحدًا. الهندسي الذي يبني حلًا خاصًا لمعادلة مجال هو أعمى، ولا يمكنه رؤية الكائن الهندسي الذي يحصل عليه. لا يمكنه سوى استكشافه من خلال خطوطه الجيوديسية، ووصف هذه الخطوط ضمن نظام إحداثيات معين. الإحداثيات القطبية التي ذكرناها سابقًا كانت تتوافق مع تقاطع السطح مع عائلة من الأسطوانات المتماثلة المحورية:
وأيضًا مع عائلة من المستويات التي تمر عبر المحور المشترك لهذه الأسطوانات.
في 3 أبعاد، سيكون ذلك تقاطع الفضاء مع عائلة من الكرات المتمركزة.
...لكن ماذا يحدث إذا قطعنا السطح الذي يحتوي على هذا الجسر الأنبوبي باستخدام عائلة من الأسطوانات المتمركزة؟ طالما تقطع الأسطوانات السطح، فكل شيء على ما يرام. لكن عندما يصبح محيط الأسطوانة أقل من محيط "الدائرة الضيقة"، تصبح هذه التقاطعات عبارة عن... منحنيات تخيلية. لنفترض أن p هو محيط الدائرة الضيقة. نربطه بطول Rg بحيث p = 2πRg.
...من الواضح أن أي أسطوانة من العائلة حيث r < Rg لا تقطع السطح. عندما يهتم الهندسي بشكل الخطوط الجيوديسية للسطح عند r < Rg، سيجد كائنات هندسية تخيلية.
...عندما نبحث عن تقاطع نقطتين مع خط مستقيم، مثلاً x = xo، نحصل على قيم حقيقية لـ y عندما يقطع الخط الفعلي الدائرة. وإلا تكون القيم تخيلية صافية.
...إذا كان شخص ما يستكشف سطحًا في الظلام، ولا يستطيع إدراك شكله، ولا يعرف أن توبولوجيا هذا السطح هي حلقيّة محليًا، فقد يشعر بارتباك شديد.
يمكن تمييز السطح باستخدام عائلتين من المنحنيات:
...كل منحنى معرف بمعامل واحد. النقطة M، التي تكون تقاطع هذين المنحنيين، محددة بدقة بكميتين (a, b)، وهما القيمتان للمنحنيين اللذين يمران بنقطة M.
...العائلة الأولى تتكون من دوائر ليست خطوط جيوديسية للسطح (إلا الدائرة الضيقة)، والثانية تتكون من خطوط جيوديسية ذات شكل زائد، متعامدة على هذه الدوائر. تشبه المنحنيات الزائدة مسارات متسللة، تسمح بالانتقال من ورقة إلى أخرى.
من الممكن بالطبع أن تكون الحالة نفسها موجودة في فضاء ثلاثي الأبعاد، بشكل محلي "مُتَعَمَّق حلقيًا". ستُستبدل الدوائر بعائلة من الكرات، من بينها نجد كرة ضيقة ذات مساحة دنيا. الخطوط التي تمثل المسارات المتعامدة على هذه العائلة من الكرات تمثل مسارات متسللة تسمح بالانتقال عبر هذا الأنبوب المُتَعَمَّق، ثم الظهور مرة أخرى في ورقة (أو طبقة) ثلاثية الأبعاد أخرى.
...هذه الملاحظة ليست عبثية. سنعود إليها لاحقًا عند تقييم نموذج الثقب الأسود. في الواقع، في هذا النموذج، عندما نتعمق "داخل الكرة الحدودية"، تصبح كتلة الجسيم... تخيلية صافية (وهذا وحده ليس كل شيء). إذًا، يحق لنا أن نتساءل إن كنا لا زلنا داخل السطح الفائق للفضاء-الزمن. هل يكون اختيار نظام إحداثيات معين (t, r, q, j)، الذي يفترض توبولوجيا كروية محليًا فائقة (وجود إحداثي شعاعي r يمكنه أن يأخذ قيمًا أقل من نصف قطر الكرة الحدودية، أو كرة شوارزشيلد)، مناسبًا؟
كانت هناك ملاحظة من عالم فلك معروف قبل بضع سنوات:
- لقد تعلمنا الآن الكثير عن داخل الثقوب السوداء.
لكن إن وُجدت الثقوب السوداء، هل لديها داخل؟ أم أنها تمثل توبولوجيا محلية متعددة الحلقات؟
...نرى مدى التأثير الذي يمكن أن يسببه اختيار نظام إحداثيات. الحل الهندسي موجود. وهو يحتوي على خطوط جيوديسية. لكننا لا نستطيع "قراءة" كل هذا إلا من خلال رسمه في ذهننا على شكل فضاء-زمن أقليدي، وهو ليس حتى نسخة نسبية. اختيار نظام إحداثيات هو اختيار نظام قراءة، أو نظام تصوير.
...مثل الشخصيات في قصة أفلاطون، لا يمكننا سوى مراقبة الظلال على "شاشة أقليدية". ولكن يجب أن نختار العدسة المناسبة لـ "نظام التصوير".
../../../bons_commande/bon_global.htm...
ملخص
المقال ملخص
العلم الصفحة
الرئيسية
**
عدد مرات زيارة هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004** :