f122
| 22 |
|---|
السياق الهندسي.
...الكرة هي فضاء ذي بعدين. يتطلب تحديد نقطة فيها عددين. إنها فضاء له طوبولوجيا (لمزيد من التفاصيل حول معنى كلمة الطوبولوجيا، انظر كتبي المصور "التوبولوجيكون"، دار نشر بيلين). لا تمتلك الكرة نفس الطوبولوجيا، نفس "الشكل" كما للحلقة (التوروس). تمتلك الكرة خطوطًا جيوديسية. يمكننا رسم مسار يربط بين نقطتين M1 و M2، وقياس الطول s المقطوع. هذا الطول لا يعتمد على الإحداثيات المختارة لتحديد النقاط، تمامًا كما لا تعتمد الخطوط الجيوديسية التي تملأ السطح على هذه الإحداثيات.
...نربط مركز هذه الكرة بكل نقاطها. نحصل بذلك على عدد لا نهائي من الأشعة النصفية. يمكن تمييز هذه الأشعة باستخدام نفس نظام الإحداثيات المستخدم للنقاط، مثلاً زاويتين q و j.
أعلى هذه الكرة. قمنا بعمل ثقب لعرض مجموعة الأشعة المتجهة.
الآن نزيل الكرة ونحتفظ فقط بالأشعة المتجهة.
...لقد قطعنا هذه الأشعة النصفية، لكن في الواقع فهي لا نهائية. كل منها يُعرف فقط ببيان عددين، مثلاً زاويتين. اختفى البنية القياسية. لم تعد هناك خطوط جيوديسية، ولا أطوال. ماذا بقي؟
-
كل شعاع نصفي له جوار. يمكننا اختيار أشعة نصفية قريبة منه لاحتوائه داخل نوع من المخروط. داخل هذا المخروط يمكننا رسم مخروط أضيق يحتوي على هذا الشعاع. هذه مسألة تشبه الدوائر المتماثلة أو الدمى الروسية، لكن بدلًا من الدوائر، نستخدم حزمًا من الأشعة النصفية. لكن لا نرسم خطوط جيوديسية على هذه المخاريط. كل من مولداتها هي مجرد مجموعة من عددين، مثلاً زاويتين.
-
نميز فكرة مفاهيمية عن القابلية للتفاضل. لا توجد انقطاعات في هذه "النسيج" هنا.
لنأخذ سطحًا مسطحًا، مع خطوط جيوديسية، وطول، إلخ...
...أياً كان النظام الإحداثي الذي أختاره، سأحتاج دائمًا إلى تمثيل موقع نقاطي بعدين حقيقيين (x,y)، (r,q)، إلخ...
هذه الأعداد الحقيقية تُؤخذ من R²، أي من مجموعة أزواج الأعداد الحقيقية، مثل (3,8705، -17,56). كل زوج من النقاط المأخوذ من هذا الفضاء المكوّن من أزواج الأعداد الحقيقية له جوار. إنها "مستمرة".
تُسمى هذه الكيانات "ما قبل القياسية" بـ المنافذ (لقد اشتهر الرياضيون بانتقاء كلمات لا تثير أي تصور لدى عامة الناس).
...في هذه المرحلة، يمكننا تخطي الخطوة التي تتمثل في اعتبار مجموعة من n أعداد حقيقية (فضاء ذي n أبعاد)، دون ربطها تلقائيًا بفكرة الطول أو الخطوط الجيوديسية.
...هذا يشبه أن نفكر في سطح لا تفرض عليه أي قيد سوى الحفاظ على الاتصال بجيرانه. سيكون مرنًا وقابلًا للتشوه بلا حدود. وفقًا للاتفاق، إذا عبّرنا عن سطح بحدوده (إما حدوده الحقيقية أو حدوده الظاهرية)، فسنستعمل هذا المفهوم "المتحرك" للمنفذ بإزالة الحدود ببساطة:
...تُثير هذه الصورة على نحو ما ظلالة الكائن. والظل لا يمتلك كثافة ولا شكلًا. هندسته تعتمد على الكائن الذي يُلقى عليه الظل.
يمكننا أيضًا تصور المنفذ (بالإنجليزية: manifold)، بدون قياسه، كمجموعة من الخطوط المستقيمة.
...هنا وضعنا خطوطًا تبدو متوازية. يجب أن تكون هذه الخطوط... بأي شكل، طالما تُحافظ على علاقات القرب والجوار.
...في النهاية، الصورة الجيدة للمنفذ V2 هي عبارة عن حزمة من المعكرونة التي نطبخها أولًا، ثم نُنحنيها ونلفها في كل الاتجاهات، دون تغيير ترتيب المعكرونة بالنسبة لبعضها البعض.
ومع ذلك، يمكننا إجراء عملية تغطية ذات ورقتين على منفذ، ونُزود كل ورقة بقياسات، كما يوحي الشكل التالي:
هنا ورقتان ثنائيتان (2D) مزودتان بقياسات متماثلة (أقليدية). ولكن يمكننا أيضًا أن نفعل ما يلي:
...نُسمّي M و M* نقاطًا مترافقة. أن نقول إن الفضائين المترافقين مُنشأان كتغطية ذات ورقتين لمنفذ يعني ببساطة أن هناك تقابلًا واحدًا لواحد بين النسيجين F و F*، لكن، على سبيل المثال، يمكن أن تختلف المسافات بين أزواج من النقاط المتناظرة (M1,M2)، (M1, M2). القيد الوحيد هو أن الجوار حول النقاط يجب أن يتطابق، وأن كل منطقة غير مفردة في ورقة واحدة تقابل منطقة غير مفردة في الأخرى.
...نعود إلى حزمة المعكرونة المرنة التي ذكرناها سابقًا. البنية "المنفذ-الهيكل" موجودة فقط لبناء التقابل الواحد لواحد بين الكائنين الهندسيين. والرسم أعلاه مخصص لتفكيك الأسئلة مثل: "كيف تُرتب الورقتان F و F* بالنسبة لبعضهما البعض؟ إذا كانت F كونًا، أين تقع F*؟". هاتان الورقتان مجرد مترافقتان، بتوافق واحد لواحد، ويمكن وصف النقاط المترافقة بنفس الإحداثيات.
../../../bons_commande/bon_global.htm
ملخص
المقال ملخص
العلم صفحة
البداية
عدد مرات زيارة هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004** :