| 3 |
الانحناء (الموجب).
...عندما رسمنا مثلثنا، المكوَّن من خطوط جيوديسية، على مستوٍ، كان مجموع زواياه عند الرأس يساوي p.
المستوي... هو سطح مستوٍ، "غير منحنٍ"، إقليدي. إذن مجموع زوايا هذا المثلث هو المجموع الإقليدي. في التجربة السابقة رأينا أنه إذا لم يكن المثلث يحتوي على رأس مخروطنا، بقي المجموع إقليديًا. أما عندما يحتوي المثلث على الرأس S، فإن هذا المجموع يُظهر فائضًا q، أيًّا كان المثلث، ما دام يحتوي على هذه النقطة. سنقول إن رأس المخروط هو نقطة انحناء مركَّز.
...يمكننا الآن الانتقال إلى تجارب أخرى. بعد صنع مخروطين، بقطعين q1 و q2، يمكننا لصق هذين العنصرين السطحيين أحدهما بالآخر.
...ثمة طريقة أبسط للإجراء تتمثل في إجراء قطعين في ورقة من الورق المقوى وصنع السطح التالي:
يمكنكم حينئذٍ رسم ما تشاؤون من المثلثات الجيوديسية على هذا السطح:
-
لا تحيط بـ S1 ولا بـ S2: مجموع الزوايا: p
-
تحيط بـ S1 فقط: مجموع الزوايا p + q1
-
تحيط بـ S2 فقط: مجموع الزوايا: p + q2
-
تحيط بالنقطتين S1 و S2: مجموع الزوايا: p + q1+ q2
...يُتصوَّر بسهولة أنه يمكن صنع عدد كبير من البوزيكونات الصغيرة ذات الزاوية Dq الضعيفة، ولصقها بعضها ببعض. بل يمكننا التدبير بحيث تكون هناك كثافة انحناء ثابتة لكل وحدة مساحة، وذلك بجعل هذا الانحناء مساويًا لمجموع Dq المرتبطة بكل رأس من رؤوس هذه البوزيكونات الصغيرة.
...بجعل هذه البوزيكونات الصغيرة أصغر وأصغر (وكذلك الزاوية الأولية Dq المرتبطة بها) يمكن استخدام هذا لبناء جزء من سطح ذي كثافة انحناء ثابتة.
الكرة سطح ذو كثافة انحناء ثابتة. وسنقول ببساطة أكبر: ذو انحناء محلي ثابت.
البيضة سطح منحنٍ ذو كثافة انحناء متغيرة. وسنقول ببساطة أكبر: ذو انحناء محلي متغير.
...تتمثل النسبية العامة في تماهي الكثافة الحجمية r والانحناء المحلي. بطبيعة الحال، لا تتناول النسبية العامة أسطحًا ذات بعدين، ولا حتى ثلاثة، بل فوق أسطح ذات أربعة أبعاد. لذا لا ينبغي أن نطلب الكثير مما سبق، وعليها أن نعتبر هذه الأشكال مجرد صور تعليمية، موجهة لتثبيت الأفكار. لكنها ليست بهذا السوء.
صورة تعليمية ثنائية الأبعاد لجرم سماوي.
الجرم السماوي، كالشمس، هو تركيز للمادة، محاط، إن لم يكن بالفراغ، فعلى الأقل بشبه فراغ (أي بمنطقة ذات انحناء ضعيف جدًا). في بعدين ستكون الصورة التعليمية صورة مخروط غير حاد.
...يُصنع المخروط غير الحاد بمساعدة عنصرين: قبعة كروية، ذات انحناء ثابت (أو "كثافة انحناء ثابتة") وجذع مخروط. جذع المخروط هذا "مستوٍ"، وكثافة انحنائه معدومة. إنه سطح إقليدي. إنها الصورة التعليمية ثنائية الأبعاد لجرم سماوي ذي كثافة حجمية r ثابتة.
...يمكن للمرء في المناسبة أن يتساءل كيف يمكن وصل جذع مخروط وقبعة كروية وصلًا تامًا، بحيث يكون المستوي المماس متصلًا.
...الأمر بسيط. يُصنع جذع المخروط انطلاقًا من مخروط، وهو ما يستلزم قطعًا بزاوية q. تحتوي القبعة الكروية على "كمية انحناء" معينة، وهي أيضًا زاوية. إنها مجموع كل زوايا البوزيكونات الصغيرة المكوِّنة لها. يجب أن تكون هاتان الزاويتان متساويتين.
لكن كيف نقدّر كمية الانحناء المحتواة في قبعة كروية معطاة؟ .
...
فهرس
المقال فهرس
العلوم الصفحة
الرئيسية
العودة إلى
دليل العلوم عدد زيارات هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004
: