| 4 |
الانحناء الكلي.
...يمكننا صنع كرة عبر تجاور أيقونات صغيرة. لكن خلال هذه العملية، فإن هذا السطح ذا الانحناء الثابت (أو كثافة الانحناء أو الانحناء الموضعي) سوف ينغلق. وبالتالي فهو يحتوي على انحناء معين، لكن أي انحناء؟
...إذا رسمت مثلثًا جيوديسيًا على كرة، فسوف يحيط بعدد من الأيقونات الصغيرة، و"كمية معينة من الانحناء"، وهي زاوية. وستكون هذه ببساطة متناسبة مع مساحة المثلث، أو بشكل أدق مع النسبة بين مساحة المثلث s ومساحة الكرة S.
...لكننا رأينا، أعلاه، أنه عندما نرسم مثلثًا جيوديسيًا على سطح مصنوع من أيقونات متصلة، فإن الفارق عن المجموع الإقليدي كان يساوي مجموع الانحناءات المركزة المرتبطة بكل رأس من رؤوس المخاريط الموجودة داخل مثلثنا. لذا يكفي قياس مجموع الزوايا a وb وg للمثلث أعلاه، المصنوع من ثلاثة أقواس جيوديسية على الكرة، للحصول على قياس لكمية الانحناء الزاوي الموجودة في هذا المثلث. والخطوط الجيوديسية للكرة هي "دوائرها الكبرى".
...لنقطع كرتنا إلى ثمانية أجزاء متساوية. سنحصل على ثمانية مثلثات مكونة من أقواس جيوديسية، تكون زواياها الثلاث قائمة.
...وبالتالي فإن كل واحد من هذه المثلثات يحتوي على انحناء يساوي p/2. وبما أن هناك ثمانية منها، فإن الانحناء الكلي للكرة يساوي 4 p.
...هذه الملاحظة الصغيرة لإظهار أنه يمكن بناء نتائج هندسية بمساعدة استدلالات بالغة البساطة.
...بالعودة إلى موضوع المخروط المفلطح، نرى أن جانب الجسم يعتمد على كمية الانحناء "المحتواة في الداخل"، وهذا الانحناء يمكن أن يكون نقطيًا (نقطة مخروطية) أو موزعًا على قبعة كروية. ويمكن جعل القبعة تنزع نحو نقطة، عبر تقليصها بتجانب (بحيث تحتوي دائمًا على نفس "كمية الانحناء").
المسارات.
...في النسبية العامة تكون الفكرة المفتاحية بسيطة: تماثل مسارات الأجسام والجسيمات والفوتونات أو المادة مع الخطوط الجيوديسية. بالطبع، هذه خطوط جيوديسية لسطح فائق ذي أربعة أبعاد. لذا فلدينا هنا أيضًا مجرد صور تعليمية.
إذا أخذنا مخروطنا المفلطح يمكننا رسم خطوط جيوديسية عليه، وإسقاطها على مستوى.
...تتبع جميع الجسيمات خطوطًا جيوديسية للسطح الفائق: جسيمات المادة، وكذلك الفوتونات والنيوترينوات. لهذا السبب تسلينا برسم خط جيوديسي يعبر الجسم بالكامل. فالنيوترينو يمكنه عبور الشمس دون مشكلة.
...لكن ما هذا المستوى الذي نسقط عليه هذه الخطوط الجيوديسية؟ إنها الطريقة التي نمثل بها الفضاء. فـ"كوننا الذهني" إقليدي تمامًا وتفكيرنا "مسطح". عندما نرى مذنبًا يمر بجانب الشمس، لن يخطر ببالنا أبدًا أنه في الواقع يسير "مستقيمًا"، أي أنه يتبع خطًا جيوديسيًا للسطح الفائق. إن إدراكنا للعالم هو الشكل 24'، حيث "يجذب" جسم سماوي الأجسام التي تمر في جواره.
فهرس المقال فهرس العلوم الصفحة الرئيسية
العودة إلى دليل العلوم عدد زيارات هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004: