| 7 |
الهندسات المترافقة.
...سنقوم إذن بربط مخروط مبتور الرأس ومخروط سالب مبتور الرأس، يحملان كميات متساوية من الانحناء، لكن بإشارتين متعاكستين: + q و - q. يمكن وضعهما وجهاً لوجه (مما يخلق في هذه الأثناء "تطبيقاً نقطة بنقطة": ثنائي التعريف، حقني). عندئذٍ يكون لدينا سطحان. لنسمِّهما F و F*. لكل نقطة على F يقابلها نقطة على F*.
...لنحاول أن تتقابل الحواف الدائرية لـ"الأجزاء المبتورة"، الحاملة للانحناء (موجب في أحد السطحين، وسالب في الآخر)، نقطة بنقطة. يوضح هذا بإسقاط الكل على مستوى. نحصل على سطحين لهما انحناءات مترافقة.
...الجوانب المخروطية "غير منحنية"، وهي عناصر أسطح إقليدية. نقول إنه في كل نقطة من هذه الأسطح يكون الانحناء المحلي معدوماً. القبة الكروية وسرج الحصان يتقابلان نقطة بنقطة. انحناءاتهما متعاكسة.
النسبية العامة.
...نقطة البداية هي فكرة أن هندسة الكون تتحدد بمحتواه من "الطاقة-المادة". نلاحظ أنه يُستخدم مصطلح الطاقة-المادة وليس المادة فقط، مما يوضح أن كل محتوى كوني له تأثير على الهندسة، بما في ذلك الإشعاع، والفوتونات (أو النيوترينوات). لقد رأينا سابقاً أن الفوتون يخلق انحناءاً موجباً صغيراً في الفضاء.
...سنبدأ بالاستدلال في حالة السكون. السطح المستوي الحر هو سطح تكون فيه الشد معدوماً. يمكن تغيير هندسته بإنشاء شدات فيه، موجبة أو سالبة (الإشارة مسألة اصطلاحية). فإذا سخنت، على سبيل المثال، غشاءً بلاستيكياً، يمكن أن يظهر فيه انتفاخ، أي منطقة ذات انحناء موجب.
...يمكنني أيضاً وضع مادة على سطح ورقة، تنكمش أثناء جفافها. سيؤدي الشد إلى ظهور منطقة ذات انحناء سالب.
...يعرف حداد تشكيل الصفائح كيفية اللعب بهذه الشدات لتشكيل صفيحة معدنية. لنأخذ أنبوباً معدنياً كمثال. أسخن من جهة، وأبرد من الجهة الأخرى. ماذا سيحدث؟
سينحني الأنبوب، حيث تتمدد الجهة المسخنة وتنكمش الجهة المبردة.
...بهذه الطريقة، أنشأنا شدات في المعدن. هذا هو أصل كلمة موتر (tensor) في الرياضيات والهندسة. سيتحدث متخصص مقاومة المواد عن موتر الإجهادات. وسيتحدث عالم الهندسة عن موتر الانحناء.
توضح التجربة الصغيرة أعلاه الفكرة:
محتوى محلي من الطاقة -----> هندسة محلية
...في النسبية العامة، نفعل الشيء نفسه. الفرق هو أن هذا المحتوى المحلي من الطاقة-المادة يحدد هندسة فائق سطح بأربعة أبعاد وليس، كما هنا، هندسة سطح ذي بعدين. لكن الفكرة متشابهة.
...سيستخدم عالم الرياضيات حينها كتابة موترية. لا يمكن قول المزيد هنا لغير المتخصص في الرياضيات. لكن موتر أينشتاين S (سنستخدم أحروفاً غامقة) يتوافق مع الجانب الهندسي. في معادلة أينشتاين، يُحدد بأنه موتر آخر T، يصف محتوى الطاقة-المادة، مضروباً في ثابت، هو "ثابت أينشتاين c".
تُكتب معادلة أينشتاين الشهيرة إذن:
S = c T
...يدخل في الموتر T الكثلة الكتلية ρ والضغط p (في الواقع، الموتر T الأكثر عمومية أكثر تعقيداً، لكننا سنكتفي بهذا التعبير الشائع). في تكوين ساكن، نعطى توزيعاً معيناً للكثافة والضغط ρ(x,y,z)، p(x,y,z). بهذا نعرف كيفية بناء الموتر T الذي يحتوي على جميع معطيات المسألة. السؤال إذن هو: "ما هي الهندسة المرافقة لهذا الموتر T، والمحققة للمعادلة أعلاه؟".
...بمعنى آخر، يبحث الفيزيائي، وهو يعرف المحتوى المحلي للكون، عن تحديد هندسة فائق سطح الكون.
من يقول هندسة يقول جيوديسيات (خطوط جغرافية). هنا تتدخل الفرضية الثانية للنسبية العامة:
نفترض أن الأجسام التي تسير في الكون
تتبع جيوديسيات فائق سطح الزمكان.
بالجسم نفهم الجسيمات (الجسيمات المسماة أولية، الفوتونات، النيوترينوات) ولكن أيضاً الكواكب، والنجوم، إلخ....
في هذه المرحلة، ملاحظة: أين الجسيمات في كل هذه المسألة؟
...الجواب: متخصص النسبية العامة يعمل على المستوى العياني (الماكروسكوبي). دوال المدخلات للمسألة، الكثلة الكتلية ρ والضغط p، تتوافق مع وصف عياني للمحتوى الكوني. نفس الشيء بالنسبة لـ"المخرج". ويضيف عالم الهندسة:
- لقد أعطيتني دالتين ρ(x,y,z) و p(x,y,z)، وقد بنيت لك فائق السطح المرافق لهما، مع عائلات الجيوديسيات الخاصة به. لكنني لا أستطيع فعل المزيد. أنا عاجز بشكل خاص عن تصنيع جسيمات، أو ذرات، إلخ. لهذا، راجع قسماً آخر...
بوضوح: الجسر بين النسبية العامة وفيزياء الجسيمات لم يُبنَ بعد.
لكن الفلكي سيقول:
- لا يهم. هذه الفرضية التي تقول إن الفوتونات تتبع جيوديسيات معينة لهذا فائق السطح تعمل. الدليل: أستطيع إجراء ملاحظات. إذا افترضت أن الكواكب، المماثلة لكتل نقطية، تتبع أيضاً جيوديسيات لهذا فائق السطح، أستطيع بناء مداراتها. هناك أيضاً تأثيرات العدسة الثقالية....
إنه محق.
...هذه التأثيرات العدسية الثقالية، لنقل بضع كلمات عنها. بالطبع، صورة المخروط المبتور الرأس ليست سوى صورة تعليمية. كوكب يدور بشكل دائري حول نجم يتبع أيضاً جيوديسية للزمكان. لكن دائرة مرسومة على مخروط مبتور الرأس ليست جيوديسية:
هذا يظهر ببساطة حدود الصور التعليمية، حتى لو كانت هندسية.
...تتبع الفوتونات فعلاً جيوديسيات فائق سطح الزمكان. يمكن استخدام صورة المخروط المبتور الرأس لتوضيح ذلك. يمكن لأشعة الضوء أن تمر من جانبي جسم كتلي، ثم تتقارب نحو الراصد. إذا أسقطنا هذه الجيوديسيات، نحصل على تأثير سراب: سيبدو للراصد أن هناك مصدرين بدلاً من واحد:
فهرس المقال فهرس العلوم الصفحة الرئيسية
عدد زيارات هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004 :