| 8 |
اللاتباين بتغيير الإحداثيات.
...هذا مفهوم مفتاحي في النسبية العامة، وليس من السهل عرضه. قلنا إن البحث عن "حل كوني"، ساكن أو غير ساكن، يعني بناء سطح فائق رباعي الأبعاد يكون "حلاً لمعادلة الحقل".
...لنأخذ مثلاً جسمًا من الصفيح له طوبولوجيا الكرة. إنه "كرة من صفيح". وهنا أيضًا يمكننا بسهولة أن نتصور إمكانية تشويه هذا السطح بالتسخين والتبريد في مواضع معينة. فمثلاً بالتسخين في نقطة والتبريد في المنطقة المقابلة يمكننا تحويل هذه الكرة إلى بيضة. البيضة جسم له طوبولوجيا الكرة، لكنه سطح ذو انحناء متغير.
...بالتسخين في موضع والتبريد في آخر، سنُنشئ شدودًا في المعدن. بطبيعة الحال، بما أن هذه المادة موصلة، فلو توقفنا عن التسخين والتبريد لتجانسَت درجة الحرارة واستعاد الجسم شكله الكروي. المهم هو أننا ننجح في إنشاء وضع ساكن ذي حقل حراري غير منتظم. هذا الحقل يولّد شدودًا ويمكننا تجسيد هذه الشدود في صورة كائن رياضي T يُسمى موترًا.
شيء ما يصف هندسة الجسم. يُسمى هذا مترية. وانطلاقًا من هذا الكائن الرياضي الثاني يمكننا:
-
حساب الموتر الهندسي S
-
حساب الجيوديزيات (الخطوط الجيوديزية) للسطح.
هندسة هذا السطح يمكن حسابها انطلاقًا من معادلة مماثلة لمعادلة أينشتاين، من النمط:
S = a T
حيث a ثابت. فبمعرفة الحقل الحراري في الصفيح مسبقًا، أي موتر الشدود، يمكننا أن نستنتج هندسته. وأفضل طريقة "لقراءة" هذه الهندسة ستكون تحليل منظومة الجيوديزيات. نحن نعرف جيوديزيات الكرة ("دوائرها الكبرى"). أما جيوديزيات البيضة فهي مختلفة.
...لوصف هذه الجيوديزيات سنحتاج إلى تعريف منظومة إحداثيات على السطح. بالنسبة للكرة يمكننا أن نأخذ المنظومة الكلاسيكية للسمت والارتفاع.
...في منظومة الإحداثيات الخاصة هذه، ستقابل جيوديزيات الكرة معادلات معينة.
على هذه الكرة، المنحنيات q = ثابت تمثل عائلة الجيوديزيات المارة بنقطتين. أما المنحنيات j = ثابت (خطوط العرض) فليست جيوديزيات للسطح.
...يمكننا أيضًا تعريف منظومة إحداثيات مماثلة وكتابة معادلات جيوديزيات سطح "البيضة". لكننا نلاحظ فورًا أمرًا جوهريًا: جيوديزيات السطح مستقلة عن الإحداثيات التي نختارها لوصفها، تمامًا كما أن نقاط كرة أو بيضة توجد بمعزل عن منظومة الإحداثيات المستخدمة لتحديد مواقعها.
...كذلك على مستوٍ، يمكننا تمثيل نقاط بإحداثيات ديكارتية أو بإحداثيات قطبية. مستقيمات المستوي جيوديزيات.
يمكن وصف مستقيم في منظومتي إحداثيات:
...إنه نفس الجيوديزي، بوصفين مختلفين تمامًا. مستقيمات المستوي توجد بمعزل عن طريقة وصفها وعن اختيار الإحداثيات المستخدمة. ويمكننا تخيل... عدد لا نهائي منها.
...إذن، ما هو الجوهري؟ الجواب: الطول s المقاس على مستقيم (أو على طول أي محيط منحنٍ). بين نقطتين M1 و M2 على سطح، المسار ذو الطول الأدنى هو جيوديزي.
...كذلك المسافة الفاصلة بين نقطتين، على جيوديزي لأجسام "الكرة" أو "البيضة"، هي أيضًا مقدار مستقل عن منظومة الإحداثيات المختارة. فإذا أخذنا نقطتين M1 و M2 على سطح ورسمنا القوس الجيوديزي الواصل بينهما، فإن الطول s المقاس على طول هذا القوس سيكون نفسه، أيًّا كانت منظومة الإحداثيات المستخدمة لتحديد موقع النقطتين.
...الأمر ذاته ينطبق على السطح الفائق رباعي الأبعاد الذي نسميه "الكون". فهو يمتلك منظومة جيوديزياته، وهي أيضًا لامتباينة بتغيير الإحداثيات. نحن لا نسكن في فضاء (x , y , z , t) ذي إحداثيات موقع وإحداثية زمن، بل في سطح فائق رباعي الأبعاد يمكن وصفه كليًا بشبكة جيوديزياته. على هذه الجيوديزيات يوجد طول s لامتباين أيضًا بتغيير الإحداثيات. نقاط هذا السطح الفائق لم تعد نقاطًا في الفضاء، بل نقاطًا في سطح فائق للزمكان. نسميها أحداثًا. إذن حدثان متمايزان يفصل بينهما شيء نسميه s. لكن ما هذا الشيء؟
إنه الزمن السليم.
...مسار جيوديزي في هذا السطح الفائق للزمكان يفصل بين حدثين M1 و M2. كل ما يمكنني قوله هو أنني لو كنت استخدمت مركبة لتنفيذ هذا المسار في الزمكان، لانقضى فاصل زمني s على ساعتي المدمجة.
اختيار الإحداثيات يعني تحديد نقاط الزمكان بإحداثيات مكانية (x , y , z) وإحداثية زمن t. لكن بما أن هذا الاختيار اعتباطي فإن هذا الفضاء وهذا الزمن لا وجود جوهريًا لهما. إنهما مجرد طرق "لقراءة" السطح والتجول فيه. القيد الوحيد: بحسب الفرضية المتخذة، لا يمكننا التحرك إلا وفق جيوديزيات، وعلى هذه الأخيرة فإن الشيء الوحيد الموثوق الذي يمكن التمسك به هو "الزمن السليم المنقضي" s، وليس هذا الزمن t، مجرد منظومة تأشير زمني (علامة زمنية).
لكل اختيار لمنظومة الإحداثيات، منظومة مختلفة لقراءة الأحداث والظواهر.
...لذلك بحث الفيزيائيون عن صياغة مستقلة عن اختيار الإحداثيات. هذا هو جوهر الصياغة الموترية. ولا يمكن قول المزيد في هذا الموضوع دون الدخول في تفاصيل تقنية معقدة نسبيًا.
مشكلة الشواذ.
على كرة، يُدخل الاختيار الكلاسيكي للإحداثيات الزاوية شاذّين قطبيين.
من المستحيل رسم خريطة لكرة دون إدخال هذا النوع من الشواذ القطبية.
...تجدر الإشارة إلى أنه يمكن رسم خريطة لكرة بشاذّ وحيد. نُنشئ على الكرة عائلة أولى من المنحنيات (دوائر) بقطعها بمستويات، كما هو مبين أدناه:
ثم عائلة ثانية:
خارج هذا الشاذّ الوحيد، لا مشكلة. لو نظرنا إلى هذه الكرة من الجهة الأخرى، لرأينا هذا:
...خارج الشاذّ الوحيد S، نحدد النقاط دون صعوبة. لكن قيم المعلمتين a و b المحدِّدتين لهذا شاذّ الشبكة S هي .... أي شيء...
...ومع ذلك فالكرة ليست شاذة هندسيًا وجوهريًا. أدر كرة بلياردو في كل الاتجاهات، أو بيضة، فلن تكتشف فيها أي نقطة شاذة.
إذن هذه الشواذ أنشأها اختيار الإحداثيات.
فهرس المقال فهرس العلوم الصفحة الرئيسية
العودة إلى دليل العلوم عدد زيارات هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004: