| 11 |
مشكلات محتملة يطرحها اختيار إحداثيات.
...سنستعرض المخاطر المترتبة على إسقاط نظام إحداثيات على حل هندسي، والتعبير عن هذا الحل في ذلك النظام الإحداثي الخاص: بيد أنه يجب أن يكون هذا النظام ملائمًا. عندما ننظر إلى الحل أعلاه، بافتراض أن هذه الهندسة حل لمعادلة حقل، فإن اللجوء إلى نظام إحداثيات (r , q) كان يفترض مسبقًا أن الطوبولوجيا "كروية محليًا"، في بعدين بالطبع. أي أنه داخل أي دائرة "مركزها ذلك المركز الهندسي المفترض" كان يمكن دائمًا رسم دائرة أصغر، حتى تصبح هذه الدائرة نقطة. رياضيًا، يقال إن أي دائرة نصف قطرها r تحدّ "خلية قابلة للانكماش".
...في ثلاثة أبعاد، محليًا، سيكون الكون "على شكل دمى روسية". داخل أي كرة يمكن دائمًا رسم كرة أصغر مساحة. في ثلاثة أبعاد، يتعلق الأمر بطوبولوجيا كروية محليًا.
هل يمكن أن يكون الأمر خلاف ذلك؟
نعم، إذا كانت طوبولوجيا السطح "حلقية محليًا". في بعدين يعطي هذا ما يلي:
...ملاحظة: جسم الشكل أعلاه هو سطح ثنائي الأبعاد بمعنى أنه يلزم معاملان لتحديد موضع نقطة عليه. بهذا المعنى يكون المنحنى "سطحًا أحادي البعد". عندما يتحدث عالم الهندسة عن الدائرة، سيستخدم عبارة "الكرة S1"، أي "الكرة أحادية البعد": لا يلزم سوى معامل واحد، الإحداثي، لتحديد نقطة على منحنى، وهو جسم أحادي البعد. الكرة S2، الكرة "العادية"، والدائرة، الكرة S1، بينها شيء مشترك: إنها أجسام "مغلقة" (مفهوم مستعار آنذاك من الطوبولوجيا).
...هذا العدد من الكميات المستخدمة لتعريف موضع نقطة في فضاء هو بالضبط تعريف بُعد ذلك الفضاء. وهكذا سيُعتبر فضاء-زمن (x,y,z,t) سطحًا فائقًا رباعي الأبعاد، لأنه يلزم أربع كميات لتعريف نقطة فيه، تسمى "حدثًا".
نهاية هذه الملاحظة حول مفهوم البعد.
...يجب أن نضع شيئًا واحدًا في الاعتبار. عالم الهندسة الذي يبني حلًا خاصًا لمعادلة حقل أعمى، لا يمكنه أن يرى الجسم الهندسي الذي يحصل عليه. لا يمكنه إلا استكشافه، عبر جيوديزياته، بوصف هذه الأخيرة في نظام إحداثيات خاص. الإحداثيات القطبية المذكورة آنفًا كانت تقابل تقاطع السطح مع عائلة من الأسطوانات المت coaxialة:
ومع عائلة من المستويات المارة بمحورها المشترك.
في ثلاثة أبعاد سيتعلق الأمر بتقاطع الفضاء مع عائلة من الكرات المتمركزة.
...لكن ماذا يحدث إذا قطعنا السطح الذي يقدم هذا النوع من الجسر الأنبوبي بعائلة من الأسطوانات المتمركزة؟ ما دامت الأسطوانات تقطع السطح، فلا بأس. لكن عندما يصبح محيطها أصغر من محيط "دائرة الحلق" تصبح هذه المقاطع ... منحنيات تخيلية. ليكن p محيط دائرة الحلق. لنربطه بطول Rg بحيث p = 2 p Rg.
...من الواضح أن أي أسطوانة من العائلة بحيث r < Rg لا تقطع السطح. عندما يهتم عالم الهندسة بشكل جيوديزيات السطح من أجل r < Rg سيجد أجسامًا هندسية تخيلية.
...عندما نبحث عن تقاطع نقطتين مع مستقيم، يقابل مثلًا x = xo، نجد قيمتين حقيقيتين لـ y، عندما يقطع المستقيم الدائرة فعليًا. وإلا فإن هذه القيم تخيلية صرفة.
...إذا كان رجل يستكشف سطحًا في الظلام، دون أن يتمكن من إدراك شكله، ويجهل أن طوبولوجيا هذا السطح حلقية محليًا، فقد يكون في حيرة شديدة.
يمكن تحديد السطح بمساعدة عائلتين من المنحنيات:
...كل منحنى يُعرَّف بمعامل. النقطة M، عند تقاطع هذين المنحنيين، تُعرَّف جيدًا بكميتين (a,b)، وهما قيمتا المنحنيين المارين بـ M.
...العائلة الأولى تتكون من دوائر ليست جيوديزيات للسطح (باستثناء دائرة الحلق)، والثانية من جيوديزيات ذات شكل زائدي، متعامدة مع هذه الدوائر. تستحضر المنحنيات الزائدية مسارات غاطسة، تسمح بالانتقال من طبقة إلى أخرى.
يمكن بوضوح أن تكون لدينا الحالة نفسها في فضاء ثلاثي الأبعاد، حلقي فائق محليًا. ستُستبدل الدوائر بعائلة من الكرات، سنجد بينها كرة حلق ذات مساحة دنيا. الخطوط المكونة للمسارات المتعامدة مع هذه العائلة من الكرات تشكل مسارات غاطسة تسمح بالمرور عبر هذا النفق الحلقي الفائق وإعادة الظهور في طبقة (أو صفيحة) ثلاثية الأبعاد أخرى.
...هذه الملاحظة ليست مجانية. ستتاح لنا الفرصة للعودة إليها عندما نضع نموذج الثقب الأسود تحت الفحص. في الواقع، في هذا النموذج، عندما يتوغل المرء "داخل كرة الأفق" تصبح كتلة الجسيم... تخيلية صرفة (ذلك وأشياء أخرى كثيرة أيضًا). عندئذ يحق للمرء أن يتساءل عما إذا كان لا يزال داخل السطح الفائق للفضاء-زمن. هل سيكون الاختيار الخاص للإحداثيات
(t , r , q , j)
الذي يستلزم طوبولوجيا كروية فائقة محليًا (وجود إحداثي شعاعي r، قادر على أخذ قيم أقل من نصف قطر كرة الأفق، كرة شفارتزشيلد) ملائمًا؟
كتب عالم فيزياء فلكي معروف، منذ بضع سنوات:
- نحن نعرف الآن الكثير عن داخل الثقوب السوداء.
لكن الثقوب السوداء، إن وُجدت، هل لها داخل، أم أنها تقابل طوبولوجيا حلقية فائقة محليًا؟
...نرى كل ما يمكن أن يحدثه اختيار نظام إحداثيات. الحل الهندسي موجود. يمتلك جيوديزيات. لكننا لا نستطيع "قراءة" كل هذا إلا بإسقاطه في فضائنا الذهني للتمثيل: فضاء-زمن إقليدي، ليس حتى نسبيًا. اختيار نظام إحداثيات يعني اختيار نظام قراءة، نظام إسقاط.
...مثل شخصيات أفلاطون، لا يمكننا إلا أن نلاحظ ظلالًا على "شاشة إقليدية". بيد أنه يجب اختيار الهدف الصحيح "لنظام الإسقاط".
...
فهرس المقال فهرس العلوم الصفحة الرئيسية
العودة إلى دليل العلوم عدد زيارات هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004: