| 22 |
السياق الهندسي.
...الكرة هي فضاء ذو بعدين. يلزم معاملان لتحديد نقطة عليها. إنه فضاء له طوبولوجيا (لمزيد من التفاصيل حول معنى كلمة طوبولوجيا، انظر قصتي المصورة "التوبولوجيكون"، دار بيلان للنشر). الكرة ليست لها الطوبولوجيا نفسها، ولا "الشكل" نفسه الذي للطارة. للكرة خطوط جيوديسية. يمكن رسم مسار عليها يربط بين نقطتين M1 وM2 وقياس الطول s المقطوع. هذا الطول مستقل عن الإحداثيات المختارة لتحديد النقاط، وكذلك المنحنيات الجيوديسية التي تملأ السطح.
...لنصل مركز هذه الكرة بجميع نقاطها. نحصل على عدد لا نهائي من أنصاف المستقيمات. يمكن تحديد هذه الأخيرة بنظام التحديد نفسه الخاص بالنقاط، مثلاً بزاويتين q وj.
أعلاه كرتنا.
أُحدثت فيها ثقبة لإظهار مجموعة أشعة المتجهات.
لنزل الآن الكرة ولا نحتفظ إلا بأشعة المتجهات.
...قُطعت هذه أنصاف المستقيمات، لكنها في الواقع لا نهائية. كل واحدة منها لا تُعرَّف إلا بمعطى معاملين، مثلاً بزاويتين. اختفت البنية المترية. لا مزيد من الجيوديسيات، لا مزيد من الأطوال. ماذا يبقى؟
- لكل نصف مستقيم جوار. يمكن اختيار أنصاف مستقيمات مجاورة لإحاطة هذا الأخير بنوع من المخروط. داخل هذا المخروط يمكن إدراج مخروط أضيق يحتوي على نصف المستقيم. الأمر يتعلق بدوائر متحدة المركز أو دمى روسية، لكن بحزم من أنصاف المستقيمات. لكن لا يتعلق الأمر برسم جيوديسيات على هذه المخاريط. فكل مولدة من مولداتها ليست سوى مجموعة من معاملين، مثلاً زاويتين.
- نميّز فكرة حدسية عن القابلية للاشتقاق. لا يوجد انقطاع في هذه "النسيج".
لنأخذ سطحاً مستوياً، بخطوط جيوديسية وأطوال إلخ...
...أياً كان نظام الإحداثيات الذي أختاره، سأضطر دائماً إلى تحديد موضع نقاطي بعددين حقيقيين (x,y)، (r,q) إلخ...
هذان العددان الحقيقيان مأخوذان من R2، أي من مجموعة أزواج الأعداد الحقيقية، مثل (3,8705 ، - 17,56). لكل زوج من النقاط مأخوذ من فضاء أزواج الأعداد الحقيقية هذا جوار. إنه "متصل".
تسمى هذه الأجسام "ما قبل المترية" المتعددات (وللم mathematicians ذوق في اختيار كلمات لا قدرة إيحائية لها عند رجل الشارع).
...في هذه المرحلة يمكن إذن تجاوز هذه الخطوة التي تتمثل في اعتبار مجموعة من n عدد حقيقي (فضاء ذي n بعد)، دون ربط فكرة الطول أو الجيوديسيات به تلقائياً.
...الأمر يشبه إلى حد ما اعتبار سطح لا يكون ل نقاطه قيد سوى الحفاظ على التلامس مع جيرانه. سيكون مرناً وقابلاً للتشوه بلا حدود. بالاصطلاح، إذا مثّلنا سطحاً بمحيطه (سواء بحده أو بمحيطه الظاهري، سنستحضر هذا المفهوم "المتحرك" للمتعدد بإزالة المحيط ببساطة:
...هذه الصورة تستحضر بالمناسبة ظل الجسم. والظل لا قوام له ولا شكل. هندسته تعتمد على الجسم الذي يُسقط عليه.
يمكن أيضاً تصور المتعدد (بالإنجليزية manifold)، دون مقياسه، كعائلة من المستقيمات.
...هنا وُضعت مستقيمات تبدو متوازية. ينبغي أن تكون هذه المستقيمات... كيفما كان الأمر، مع الحفاظ على علاقاتها من القرب والجوار.
...في النهاية، الصورة الجيدة للمتعدد V2 هي حزمة من السباغيتي نطبخها أولاً، ثم يمكننا ثنيها ولفّها في كل الاتجاهات، دون تعديل ترتيب المعكرونة الواحدة بالنسبة للأخرى.
على أي حال، يمكن إجراء عملية تغطية ذات وريقتين على متعدد، نزوّدها بمقاييس، توحي بها الصورة التالية:
هنا وريقتان ثنائيتا البعد مزودتان بمقاييس متطابقة (إقليدية). لكن يمكن أيضاً فعل ما يلي:
...سنسمي M وM* نقطتين مترافقتين. القول إن الفضاءين المترافقين مبنيان كتغطية ذات وريقتين لمتعدد يعني ببساطة وجود تقابل نقطة بنقطة بين الورقتين F وF*، لكن، مثلاً، يمكن أن تكون المسافات بين أزواج النقاط المتناظرة (M1,M2)، (M*1، M*2) مختلفة. القيد الوحيد في النهاية هو أن تتقابل أجوار النقاط أيضاً، وأن تقابل كل منطقة غير شاذة من طبقة منطقة غير شاذة كذلك.
...نجد حزمة المعكرونة المرنة من قبل. بنية "المتعدد-الهيكل" ليست هنا إلا لبناء التطبيق التقابلي بين الجسمين الهندسيين. الرسم أعلاه يهدف إلى تفجير أسئلة من قبيل "كيف تُرتَّب الورقتان F وF* إحداهما بالنسبة للأخرى؟ إذا كانت F كوناً، فأين F*؟". هاتان الورقتان مترافقتان ببساطة، مع تقابل نقطة بنقطة، وهذه النقاط المترافقة يمكن وصفها بـالإحداثيات نفسها.
فهرس المقال فهرس العلوم الصفحة الرئيسية
عدد زيارات هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004 :