GEOMETRICKÉ REKREACE
Polyedrické znázornění bodu s ostrou hranou, výpočet jeho koncentrované křivosti.
Polyedrické znázornění různých ploch.
Permutace ostrých bodů Cross Cap.
Transformace plochy Boy "pravé" na plochu Boy "levé", prostřednictvím plochy Romaine de Steiner.
Obrácení "pravé"-"levé" plochy Boy.
**Jean-Pierre Petit ** **Ředitel výzkumu u CNRS ** 1988-1999 ---
Shrnutí :
Prezentujeme několik prvků, které umožňují znázornit body koncentrované křivosti: "posicônes", "négacônes" a jejich polyedrické ekvivalenty: "posicoins" a "négacoins", které umožňují vytvářet polyedrické znázornění různých ploch a získávat jejich celkovou křivost. Tak polyedrické znázornění plochy Romaine de Steiner je tvořeno čtyřmi kostkami spojenými podél hran, což ji činí srozumitelnější. Polyedrické znázornění plochy Boy bylo již uvedeno v Topologicon, 1985, vydavatelství Belin, strany 48 a 49, ve formě rozstřiženého tvaru, který je třeba sestavit. Na straně 46 byly také znázorněny polyedrické znázornění toru a Kleinovy láhve. Jsou uvedena polyedrická znázornění Cross-Cap. Celková křivost různých pohodlných vložení roviny projektivní v R3: plocha Boy, Cross-Cap, plocha Romaine de Steiner je rovna 2p. Polyedrické znázornění ostrých bodů, považovaných za body koncentrované křivosti, umožňuje výpočet této křivosti, velmi jednoduše. Cross-cap, plocha Romaine de Steiner, plocha Boy se prezentují jako "různé tváře" jednoho jediného objektu: rovina projektivní. Protože to není zřejmé na první pohled, vytváříme geometrické transformace, které umožňují přechod mezi nimi. Začneme s Cross-Cap, kterou transformujeme na plochu Romaine de Steiner vytvořením dvou dalších ostrých bodů (tj. uplatníme, v tomto směru, generickou změnu "vznik-odstranění ostrých bodů"), poté transformujeme plochu Steiner na plochu Boy konvergencí párů ostrých bodů. Kromě toho, využitím skutečnosti, že standardní vložení koule může být transformováno na její antipodální vložení (obrácení koule), ukazujeme, že dva ostré body Cross-Cap mohou být zaměněny posloupností vložení, transformace ilustruje skutečnost, že tyto dva body jsou ekvivalentní.
PŘEDMLUVA :
Čtenář najde zde obecné prvky, které se také nacházejí v úvodu GEOMETRICKÉ FYZIKY A (definice posicônes, négacônes atd.). Pokud chce tento odstavec přeskočit, stačí [kliknout zde](#POSICOINS A NEGACOINS).
Pokud nakreslíme na rovině trojúhelník složený z přímých úseček, součet úhlů ve vrcholech je roven p. Tyto přímky na rovině mohou být získány jiným způsobem: lepením na povrch pásek lepicího pásu, bez vytváření záhybů. Takové cesty na rovině se nazývají geodetiky. Můžeme nakreslit geodetické křivky na jakoukoli plochu tímto způsobem, například na křídlo automobilu nebo na kapotu.
Obrázek 1: Trojúhelník považovaný za soubor tří geodetik na rovině
POSICOINS A NEGACOINS
Proveďme výřez v rovině a slepme dva okraje, poté nakresleme trojúhelník pomocí lepicího pásu, tvořeného třemi geodetikami tohoto kužele.
Obrázek 2: Vytvoření posicône.
Rozdělením dvou okrajů povrchu podle předchozího výřezu (obrázek 3) si snadno uvědomíme, že součet úhlů A, B a C je roven p plus úhel výřezu a. Tento odchylku od euklidovského součtu nazýváme křivost a řekneme, že trojúhelník "obsahuje" určitou množství úhlové křivosti a. Tato odchylka bude stejná, bez ohledu na to, jaký trojúhelník, pokud obsahuje vrchol kužele. Pokud neobsahuje, součet bude p. Řekneme, že křivost je koncentrovaná ve vrcholu M kužele, který je pak "bodem koncentrované křivosti". Protože součet úhlů je větší než euklidovský součet, řekneme, že tato křivost je kladná. Tak by tedy rovina byla v tomto pojetí plochou s nulovou křivostí.
Obrázek 3: Posicône rozložený.
Tato křivost je aditivní. Pokud slepíte dohromady několik těchto kuželů odpovídajících úhlům a, b, g, můžete nakreslit různé trojúhelníky složené z geodetických oblouků. Pokud trojúhelník obklopuje tři body odpovídající křivostem rovným a, b, g, pak součet jeho úhlů ve vrcholech bude: p + a + b + g.
Můžeme považovat plochu s kladnou křivostí za kouli jako sestavu nekonečného počtu "posicônes". Namísto toho, že by měla křivost koncentrovanou v různých bodech, bude mít rovnoměrně rozloženou křivost na celé ploše. Řekneme, že koule je plocha "s konstantní křivostí" (nebo s "konstantní hustotou úhlové křivosti").
Obr.4: Trojúhelník tvořený třemi geodetickými oblouky.
Na kouli jsou geodetiky "velké kružnice". Rovník a poledníky jsou velké kružnice, jsou to geodetické oblouky koule. Ale nepodaří se vám vytvořit rovnoběžku pomocí lepicího pásu. Rovnoběžky nejsou geodetikami koule. Součet úhlů ve vrcholech trojúhelníku nakresleného na kouli závisí na poměru mezi plochou trojúhelníku a plochou koule. Součet úhlů malého trojúhelníku bude velmi blízký p.
Trojúhelník, jehož plocha bude osmina plochy koule, bude mít součet
A + B + C = 2 p
Velká kružnice koule může být považována za "trojúhelník", za předpokladu, že umístíme tři vrcholy... kdekoliv na této kružnici. Součet A + B + C bude 3 p. Obsahuje polovinu plochy koule.
Jaký je maximální rozdíl? Nemůžeme říct "zvětšujte trojúhelník přesahuje tuto velkou kružnici", protože za tímto bodem bude délka geodetických oblouků tvořících jeho strany klesat a dokonce se blížit nule.
Když obkroužíme celou plochu koule, dostaneme
A + B + C = 5 p = p + 4 p
Řekneme, že celková křivost koule je 4 p.
Obr.5: Součet úhlů. Trojúhelník tvořený geodetickými oblouky koule.
Množství křivosti obsažené v trojúhelníku odpovídá jednoduché trojčlenné pravidlu:
Nyní vytvoříme "négacône", tentokrát vložením úhlového sektoru a do roviny, jak je znázorněno na obrázku 6
Obr.6: "Négacône"
Když odstraníme úhlový sektor, dostaneme toto:
Obr.7: Négacône rozložený.
Součet úhlů trojúhelníku je A + B + C = p - a
Řekneme, že tato plocha je négacône s bodem koncentrované křivosti, zápornou. Tato křivost je také aditivní. Složením plochy s přilepením mini posicône a mini négacône můžeme vytvořit plochu, kde bude lokální hodnota křivosti libovolná.
Obrázek 7 je plocha s rozloženou zápornou křivostí. Řekneme také, že tato plocha má v každém bodě hustotu křivosti (úhlovou). Odchylka (záporná) vzhledem k euklidovské hodnotě součtu úhlů závisí zde také na ploše trojúhelníku. Čím menší bude tato plocha, tím blíže bude součet k p.
Obr.7: Plocha s negativní hustotou úhlové křivosti.
Obrázek 8 ukazuje příklad spojení tří oblastí s kladnou, zápornou a nulovou hustotou křivosti.
Obr.8: Plocha s proměnlivou hustotou křivosti. Nulová v rovinné části, kladná v kulaté části, záporná v spojení (šedá).
Pokud nakreslíme geodetiky, dostaneme toto:
Obr.9: Rovinné zobrazení, spolu s geodetikami.
V zvoleném příkladu množství křivosti obsažené v kulaté části je rovno a opačné té z oblasti spojení (předpokládáme, že se tečná rovina spojitě mění). Důkaz je na obrázku 10 níže:
Obr. 10: Geodetický trojúhelník, nakreslený v rovinné části, obsahuje celou křivost, kterou obsahuje. Protože součet tří úhlů je ** p, je vepsán do euklidovské plochy (rovině). Důsledkem toho jsou "integrované křivosti" obsažené v kulaté části a v šedé oblasti spojení stejné a opačné.**
Některé plochy, jako je válec, nám se zdají mít určitou křivost. Ale pokud nakreslíte na něm trojúhelník pomocí geodetických oblouků a poté rozložíte válec (stejně jako posicône a négacône, válec je "rozevíratelný"), zjistíte, že součet je 180°. Vzhledem k této definici křivosti je válec "rovinný".
Obr. 11: Válec, na kterém byl nakreslen geodetický trojúhelník, a jeho rozevřený tvar.
Záhyb nezpůsobí žádný efekt křivosti a můžete to také ověřit pomocí lepicího pásu.
Obr. 12: Geodetika překračující záhyb. Záhyb nezmění jeho rozevřený tvar : Neobsahuje žádnou křivost.
POSICOINS A NEGACOINS.
"Coins" jsou body koncentrace křivosti. Hrany neobsahují žádnou křivost. Obrázky 6 a 7 ukazují, jak vytvořit posicoin odpovídající koncentrované křivosti rovné + p / 2 a négacoin s koncentrovanou křivostí rovnou - p / 2 .
Obr. 13: Vytvoření posicoinu o **+ ** p/2
Obr.14: Vytvoření posicoinu o + ** p/**4
Obr.15: Vytvoření négacoinu - ** p/**2.
** Pomocí osmi posicoinů můžeme vytvořit kostku, která je jednou z polyedrických reprezentací koule.**
Obr.15: Kostka, polyedrická reprezentace koule
** Získáváme celkovou křivost koule : 4 ** p
S osmi posicoiny a osmi négacoins můžeme vytvořit polyedrické znázornění toru a získat jeho celkovou křivost: nula.
Obr.16: Polyedrické znázornění toru.
OSTRÉ BODY
Cross-Cap je jednou z mnoha tváří, které projektivní rovina nabývá v R3. Nemůže být vložen. Cross-Cap má soubor samoprůniků, které se objevují ve formě úsečky, jejíž konce odpovídají tomu, co se nazývá ostré body.
Obrázky 17, 18 a 19 ukazují, jak lze vytvořit ostrý bod v oblastech s kladnou, zápornou nebo nulovou křivostí.
Obr.17: Vytvoření ostrého bodu v oblasti s kladnou křivostí.
Obr.18: Vytvoření ostrého bodu v oblasti s negativní křivostí.
Obr.19: Vytvoření ostrého bodu v oblasti s nulovou křivostí (válec).
Obrázek 20 ukazuje polyedrické znázornění ostrého bodu, které budeme dále používat.
Obrázek 20: Polyedrické znázornění ostrého bodu
CROSS-CAP
Obrázky 21a a 22b jsou dvě polyedrické znázornění Cross-Cap, snadno pochopitelné.
Obrázek 21a a 21b: Polyedrické znázornění Cross-Cap.
Víme, že celková křivost Cross-Cap je rovna 2 p. Jak ji získat z polyedrického znázornění?
Obrázek 22 umožňuje výpočet koncentrované křivosti v ostrém bodě, jak je znázorněn na obrázku 20.
Obr.22: Koncentrovaná křivost v ostrém bodě.
Trajektória znázorněná obsahuje šest pravých úhlů. Záhyby 2, 5 7 a 10 se provádějí na hranách a neobsahují žádnou křivost. Trajektória 1-2-3 probíhá podél geodetiky povrchu. Koncentrovaná křivost v tomto konkrétním ostrém bodě, kde se náplně kříží pod pravými úhly, je rovna - p. Pokud se nyní obrátíme na obrázek 21a a sečteme křivosti, získáme - 2 p. Je to proto:
Dvanáct posicoinů + p / 2
Čtyři négacoins - p / 2
Dva ostré body - p
Celkem 2 p
Obrázky 21a a 21b ukazují identitu dvou ostrých bodů C1 a C2.
Obr.23: Sestavení dvou polyedrických Cross-Cap.
Obrázek 24: Dokončené sestavení.
Po všem tomto jsme schopni dobře pochopit geometrickou strukturu Cross-Cap.
Obrázek 25: Cross-Cap a sestavení jeho dvou ostrých bodů. Ostrý bod C1 byl vytvořen v oblasti s lokální křivostí (nebo hustotou úhlové křivosti) kladnou (viz obrázek 16), C2 v oblasti s lokální zápornou křivostí (viz obrázek 17).
Stejně, bez těchto detailů:
Obrázek 14: Cross-Cap a její dva ostré body.
PERMUTACE OSTRÝCH BODŮ D'UNA CROSS-CAP.
Existuje symetrie mezi těmito dvěma body, která není zjevná na první pohled.
A parte :
Pro malou historii, pokládal jsem si tento problém po účasti na konferenci o Lacanově psychanalýze v Aix-en-Provence, na pozvání organizátorského výboru. Ptáte se, co má dělat Lacanovská psychanalýza v přednášce o geometrii. Lacan, dnes zemřelý, vyslovil někdy teorie dosti neproniknutelné o struktuře našeho mysli, která by podle něj byla organizována kolem "malého objektu a", skutečného "organizačního centra jazyka". Pro Lacana je vše jazyk (odtud jeho známá věta "sexuální akt neexistuje"). Nyní, když je mrtvý, jeho slova se trochu rozptýlí. Ale během jeho života jeho přednášky na École Normale Supérieure dělaly šílenství v celém intelektuálním Paříži. Slavnosti filmu rády byly viděny. Lidi se přeháněli, aby poslouchali jeho zmatené projevy. Jedna z jeho žáků, Jeanne Granier-Deferre, můžeme říct o jeho věrných (lacanismus byl téměř strukturován jako sekte, v níž byl Lacan gurú (kterého si vlastně zvolil oblečení, viz některé televizní dokumenty)), vydala knihu s názvem "Topologie podle Jacques Lacana" (...). Lacan hledal jednostrannou plochu pro modelování geometricko-jazykové struktury naší "duše". Proč jednostrannou? Pro zobrazení toho, co nazýval enantiomérii, dvojznačnost.
Myšlenka není hloupá. Důkaz je známá věta od Lacana:
Muž je muž.
kde pět znaků tvořících slovo muž nemají stejný význam ve dvou částech věty. Na levé straně slovo muž odkazuje na muže druhu lidí. Na pravé straně: slovo odkazuje na jeho kulturní vlastnosti (mužství, chování atd.). Podle Lacana by náš jazyk neustále používal dvojznačnost, v dualitě signifikant-signifikát, což není hloupé. Můžeme se rozepsat na myšlenky zemřelého J. Lacana, ale to by nás přivedlo příliš daleko. Věnuji tomu soubor, který pravděpodobně nazvu: "JPP u Jacques Lacana", plný chutných anekdot. Vskutku Lacan okamžitě reagoval, když se objevil v roce 79 náš článek o obrácení koule v čísle ledna pro La Science. Nejprve zavolal slepého Morin, spoluautora, který byl alergický na psychanalýzu (a na mnohé jiné věci), poslal ho na věčnost. Zájmem jsem se vypravil na rue de Lille, v Paříži, k Lacanovi, tedy do svatyně sektu. Příběh těchto setkání v tomto budoucím souboru.
že Lacan se obrátil k jednostranné ploše pro modelování jazyka, dobře. Například, pokud vezmete slovo MOT a uvažujete o jeho zrcadlovém obrazu, jeho enantiomorfní obraz, to dává TOM, což nemá nic společného. Ale věci se komplikují s "tímto malým objektem a" (podle Lacana "lingvistický penis"). Celý jazyk mužů byl organizován kolem něj. Odtud další známá věta od Lacana:
Muž není mluvící jednotka, ale mluvící jednotka.
Podle Lacana by muž byl jen stroj, který sekretuje jazyk, i když dělá milost, i v tichu (ticho samozřejmě plné nesložených slov: pro Lacana neexistuje ani ticho...). Konečně, muž jen cestuje po "jazykové jednostranné ploše", mezi signifikanty a signifikáty, řečenými a nesloženými. V centru tohoto geometricko-jazykového objektu, objektu a, bod možného k mysli, ale nemožného k popisu: Bůh, nebo "otec", možná, jdi tedy vědět. Uznávám, že jsem nikdy dobře nepochopil. Ale po smrti Lacana psychanalýti Lacanienci, zřejmě zmatení zemřením svého gurú, drželi konferenci v Aix v dubnu 1978 a pozvali mě jako "expert-geometr". Předem mi předali knihu paní Granier-Deferre, tohoto "Topologie podle Jacques Lacana". Lacan si vybral centrální ostrý bod Cross-Cap (jedinou jednostrannou plochu, kterou znál), kde umístil svůj "malý objekt a", zasadil svůj "lingvistický penis". Hned jsem si představil transformaci, která umožňuje "otci-mutovat" oba ostré body. To byl jeden z témat mého vystoupení, které způsobilo úplný zmatek ve sektě (vzhledem k tomu, že tito 400 účastníků byli v psychoterapeutickém stavu, jen jsem zhoršil situaci). Tato Cross-Cap, přejmenovaná Lacanem na "základní fantazii", měla tedy dva lingvistické penisy místo jednoho. Pokusil jsem se pak zachránit situaci tím, že jsem vytáhl plochu Boy z krabice z kartonu a navrhl těmto Lacaniencům, aby vložili jejich "lingvistický penis" na jediný pól. Podrobnosti a pokračování této záležitosti v tomto budoucím souboru "JPP u Lacana".
Zavřením této poznámky popíšeme tuto transformaci, kterou jsem vytvořil v té době, permutující dva ostré body. Anecdoticky, abych byl lépe pochopen, jsem vysvětlil, že operace vniknutí ostrého bodu C1 připomíná "vaginální dotyk u samice kangura". Skutečně, protože kangurům nejsou placentární, trubky Falopiovy žlázy samice vyústí přímo do genitálu, bez dělohy, pokud to není chyba. Viz obrázek 19a a 19b.
Pro tento účel začneme nafukováním objektu, aby se spojily oba ostré body a segment samoprůniku v oblasti koule. Víme, že můžeme obrátit kouli. První verze byla dána Anthony Phillips v roce 1967. Druhá verze byla později vynalezena matematikem Bernardem Morinem a publikována v roce 1979 v CRAS (ilustrovaná autorem).
Obrázek 15a a 15b: Před a po obrácení koule.
Ostrý bod C1 je nyní "uvnitř koule". Stačí deformovat objekt podle obrázků, abyste získali výsledek podobný obrázku 15a. Ale ostré body byly pak vyměněny.
Obrázky 16a a 16b: Začínáme deformovat objekt.
Obrázek 17a a 17b: Poslední fáze transformace.
TRANSFORMACE CROSS-CAP NA PLOCHU BOY PŘES PLOCHU ROMAINE DE STEINER
Znovu vezměme Cross-Cap. Obrázek 18b znázorňuje plochu "z boku". Tak můžete stisknout okolí segmentu samoprůniku mezi dvěma prsty, jak je uvedeno
Obrázek 18a a 18b.
Obrázek 19a a 19b.
Ostrý bod C2 prochází "dno" Cross-Cap a objevuje se "na druhé straně". Při tomto přechodu vzniká trojúhelníkový bod T, viditelný na pohledu 20a. V 20b je znázorněno okolí tohoto trojúhelníkového bodu.
Obrázek 20a a 20b
Detailujme tento mezivýsledný model transformace. Stále máme segment C1 C2 jako prvek souboru samoprůniku. Ale předchozí pohyb vytvořil křivku ve tvaru osmičky, která je také součástí tohoto souboru a prochází trojúhelníkovým bodem T.
Obrázek 21 : mezivýsledný model
Obrázek 22 : mezivýsledný model a soubor samoprůniku
Obrázek 22 ukazuje jiný pohled na tento mezivýsledný model a soubor samoprůniku. Nyní budeme stiskovat povrch podle šipky označené na obrázku 23.
Fig. 23: Stisknutí v mezivýsledném modelu.
Zánik trubkových cest způsobí vznik dvou nových párů ostrých bodů (C4, C6) a (C5, C4). Tento objekt je jinak plocha Romaine de Steiner.
Obrázek 24 : Vznik dvou párů ostrých bodů : C3, C4, C5, C6
Obrázky 25a a 25b jsou známější pohledy na plochu Steiner, zatímco obrázek 26 je její polyedrické znázornění.
Obrázky 25a a 25b : Plocha Romaine de Steiner
Obrázek 26 : Polyedrické znázornění plochy Steiner.
Obrázek 27 je jiný pohled na toto polyedrické znázornění, který ukazuje, že je tvořen čtyřmi kostkami spojenými podél hran. Soubor samoprůniku je tvořen třemi úsečkami, které se setkávají v trojúhelníkovém bodě T. Na koncích každé z těchto úseček se nachází ostrý bod.
Obrázek 27 : Detail tohoto polyedrického znázornění a soubor samoprůniku.
Nyní je možné zvážit přechod k ploše Boy. Pro tento účel budeme konvergovat ostré body po dvojicích. Je to opačná operace, která byla použita pro přechod od obrázku 23 k obrázku 24. Vidíme na obrázku 28a pořadí, ve kterém probíhá konvergence ostrých bodů.
Obrázky 28a a 28b : Konvergence ostrých bodů
Na obrázku 28b již dva z ostrých bodů spojily. Operace je dokončena na obrázcích 29a a 19b, kde poznáme vložení roviny projektivní, plochu Boy.
Obrázky 29a a 29b : Dva pohledy na plochu Boy. Na obrázku 29b byla část plochy odstraněna, aby byl viděn trojúhelníkový bod.
Poslední poznámka. Pokud místo toho, abychom spojili body:
C1 s C4 C3 s C5 C2 s C6
bychom spojili body: C1 s C5 C2 s C3 C4 s C6
dostali bychom obrázek v zrcadlovém obrazu plochy Boy. Tak tedy mezivýsledný objekt, kterým je plocha Steiner, umožňuje transformaci plochy Boy "pravé" na plochu Boy "levé", tedy na její zrcadlový obraz.