Nová axiomatika grup

Nová axiomatika grup **

...Souriau bydlí v bytě ve starém Aix. Dveře vedoucí na ulici jsou úžasné. V předsíni je zaparkován docela zvláštní vozidlo: starodávná nosidle, která patří majitelce domu, mladé dámi, archeoložce, pokud dobře pamatuji. Nosidle stojí u zdi. Stačí najít dva nosiče, vložit dvě dlouhé dřevěné tyče do kroužků a sednout si, abychom mohli vyrazit na procházku. Otevřené části jsou skleněné: skla na stranách lze snížit, ne pomocí kliky, ale pohybem kožených řemenů, jako to bylo ve vagónech vlaků z mé dětství.

...To všechno mě tak rozjímá. Vzpomínám si, že jsem nikdy necestoval nosidly. Jsem přesvědčen, že v době nezaměstnanosti by lidé mohli vydělávat živobytí tím, že by založili první pravidelnou linku nosidel ve starém Aix. Stačilo by vyrobit vozidlo podobné starým nosidlům. To nemusí být nijak obtížné. Pak jen získat dvě brokátové uniformy, dvě peruky a v cestu. Trasa: Cours Mirabeau. To by bylo naprosto dostačující. Potom stačí jen snít a trochu si představovat.

...Jean-Marie žije sám se svým kočkem Pioum v rozlehlém bytě plném zlatých dekorací a dřevěných obkladů. Pioum je okouzlující. Přesto kocoury nemám rád. Tenhle je ale velmi přátelský a laskavý.

Obvykle pracujeme v kuchyni, o patro výše. Malá místnost pod střechou, jejíž úzkost se silně liší od rozsáhlosti dolních místností. Každýkrát, když přijdu, Jean-Marie se snaží, abych vypil jeho oblíbený nápoj: Fernet-Branca, založený na artičokách, který považuji za skutečně odporný, ale on mu připisuje všechny možné výhody.

...Když se projde po městě, vždy si bere svůj GPS, který ho nikdy neopouští. Je opravdu fascinující být veden satelity vzdálenými čtyřicet tisíc kilometrů od ulice, po níž kráčíme. Aby měl lepší příjem, Souriau má tendenci jít přesně uprostřed ulice a upírat pohled na displej s kapalnými krystalovými částmi. To je účinné, zdá se, ale stále relativně nebezpečné.

...Myslím si, že se dobře bavíme. Jednoho prosincového večera jsem ho navštívil a měli jsme následující rozhovor.

• Budu ti mluvit o grupách. Pamatuješ si axiomy?

• Ano, je jich šest. Jsou to:

1 - Existují prvky a, b, c... patřící do množiny E

2 - Existuje vnitřní operace, značená o ("kroužek"), která umožňuje spojit dva prvky množiny.

a patří do množiny E

b patří do množiny E

a o b patří do množiny E

3 - Tato operace je asociativní:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Existuje neutrální prvek e, takový, že:

a o e = e o a = a

5 - Každý prvek a množiny má inverzní prvek, značený a⁻¹, takový, že:

a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e

To je pět?

• No, pět, čtyři nebo jedna. V počtu axiomů není žádné absolutní pravidlo. Můžeme stejně dobře spojit axiomy 1 a 2 do jednoho:

• Existují prvky a, b, c, atd., patřící do množiny E, vybavené vnitřní operací splňující:

a patří do množiny E

b patří do množiny E

a o b patří do množiny E

To je ekvivalentní.

• Dobře, pět, čtyři, nezáleží na tom. Kam tím chceš říct?

• Odstraním to, co jsi nazval axiomy 4 a 5, definující neutrální prvek a inverzní prvek, a nahradím je axiomem sendviče. Celkem jsou axiomy:

1 - Existují prvky a, b, c... patřící do množiny E

2 - Existuje vnitřní operace, značená o ("kroužek"), která umožňuje spojit dva prvky množiny.

a patří do množiny E

b patří do množiny E

a o b patří do množiny E

3 - Tato operace je asociativní:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Jsou dány tři prvky a, b, c, patřící do množiny E.

Uvažujme rovnici:

a o y o b = c

Má právě jedno řešení.

To je ten axiom sendviče, kde "klobása" y je mezi prvky a a b, zatímco c je celý sendvič. Axiom znamená:

Vždy lze vyjmout klobásu z sendviče.
*

A říkám, že tyto axiomy definují grupy, jsou ekvivalentní předchozím.

• Toto jednoznačné řešení y patří do množiny E, protože operace je vnitřní a asociativní.

• Samozřejmě, to je zřejmé.

• Ale lépe to říct. Nevím, jak budeš postupovat, abys znovu odvodil dva axiomy o neutrálním prvku a existenci inverzního prvku, ale aspoň chápu, co tě k této myšlence vedlo.

• Řekl jsem si: "Na co to je?"

• Přesně. Na co je dobrý neutrální prvek? V podstatě znamená: "Mám-li množinu E a neutrální prvek, mohu složit všechny prvky této množiny s tímto prvkem a dostat stejný výsledek." To mi moc nepomáhá. Stejně tak na co je dobrý inverzní prvek? Když počítáme s grupami, s jakýmkoli objektem, vždy se obejdeme tím, že násobíme zprava nebo zleva prvky nebo jejich inverzy, abychom získali a o a⁻¹ nebo a⁻¹ o a, které nahradíme e, pak b o e nebo e o b, které nahradíme b. Tvůj axiom sendviče je "funkční".

• Pokud chceš. Přejděme k větám, které vyplývají z axiomy sendviče. První je:

I - Existuje neutrální prvek, který při složení sám se sebou dává sám sebe:

e = e o e

II - Tento neutrální prvek je jedinečný.

<Důkaz>:

Vycházíme z axiomy sendviče. Rovnice

a o y o b = c

má právě jedno řešení y.

To platí i pro případ, kdy b = c = a, tedy

a o y o a = a

má právě jedno řešení. Vynásobme pravou stranu y:

a o y o a o y = a o y

Označme a o y = e

...Je to prvek množiny, protože a a y patří do množiny a operace je vnitřní. Tedy existuje prvek množiny takový, že:

e o e = e

...Věta I je dokázána. Přejdeme k jedinečnosti, větě II. Pokud by nebyla jedinečnost, existoval by jiný prvek množiny, označme ho f, který splňuje:

f o f = f

Máme:

e o e = e

Vynásobme pravou stranu f:

e o e o f = e o f

Znovu vynásobme pravou stranu e:

e o e o f o e = e o f o e

Použijme asociativitu:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Jsou to dva sendviče. Označme je:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Podle axiomy sendviče můžeme "vytáhnout klobásu", tedy spočítat výrazy ( e o f ) a f, které budou rovny, protože p = q. Tedy:

( e o f ) = f

...Zopakujme to od začátku s předpokladem pro druhý prvek f:

f o f = f

...Vynásobme pravou stranu e, dvakrát vlevo:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Použijme asociativitu:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Použijeme axiomy sendviče podruhé a získáme:

e o f = e

tudíž:

e = f

Věta III: Když vezmu tento prvek e, který je roven svému čtverci, vyplývá, že

a o e = a

<Důkaz>:

Stále používáme axiom sendviče. Vycházíme z definice e:

e o e = e

Vynásobme pravou stranu postupně a a e:

e o e o a o e = e o a o e

Použijme asociativitu:

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Tedy:

e o a = a

Začneme znovu od:

e o e = e

a vynásobme postupně zleva a a e:

e o a o e o e = e o a o e

Použijme asociativitu:

e o ( a o e ) o e = e o a o e

Odtud:

a o e = a

Věta III je dokázána.

<Přejdeme k větě IV>

(existence inverzního prvku, značeného a⁻¹).

Znění: Je dán prvek množiny. Existuje právě jeden prvek, který je řešením rovnice:

a o y o a = a

Tento prvek označíme a⁻¹ a nazveme jej inverzním prvkem k a. Tento prvek splňuje vlastnosti:

a o a⁻¹ = e

a⁻¹ o a = e

<Důkaz>.

Existence a jedinečnost tohoto prvku je jednoduchým důsledkem axiomy sendviče, pokud se formuluje takto:

Když jsou chleby stejné mezi sebou i stejné jako sendvič, pak klobása je inverzní k chlebu (nebo k sendviči).

a o y o a = a

Můžeme použít asociativitu dvěma způsoby:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Víme, že:

e o a = a

a o e = a

Tedy řešení y splňuje:

a o y = e

y o a = e

Ukažme, že toto řešení je jedinečné. Pokud by nebylo, existovalo by jiné:

a o z = e

z o a = e

Vynásobme první rovnici zleva y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

ale y o a = e, tedy:

z = y

Toto řešení označíme a⁻¹, řešení jediné rovnice:

a o a⁻¹ o a = a

Takže nový soubor axiomů vede ke stejným vlastnostem, které klasicky definují grupy.

<Můžeme tedy definovat grupy pomocí tohoto nového souboru axiomů>

.

1 - Existují prvky a, b, c... patřící do množiny E

2 - Existuje vnitřní operace, značená o ("kroužek"), která umožňuje spojit dva prvky množiny.

a patří do množiny E

b patří do množiny E

a o b patří do množiny E

3 - Tato operace je asociativní:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Jsou dány tři prvky a, b, c, patřící do množiny E.

Uvažujme rovnici:

a o y o b = c

Má právě jedno řešení.

Pokud prvky množiny E, vybavené svou vnitřní operací, splňují tyto čtyři axiomy, říkám, že tvoří grupu.

Věta: Neutrální prvek je sám sobě inverzním prvkem. Tato nová definice neutrálního prvku pomocí jedné rovnice vede k jinému typu důkazu této vlastnosti.

e o e = e

To je definice speciálního prvku e. Avšak axiom sendviče způsobuje, že tato rovnice odpovídá vlastnosti (ne definici) inverzního prvku.

Další věta: Inverzní prvek k inverznímu prvku je roven samotnému prvku:

(a⁻¹)⁻¹ = a

a⁻¹ o a = e

a o a⁻¹ = e

a je inverzním prvkem k a⁻¹. Odtud vlastnost.

Ukažme, že:

( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹

Spočtěme:

a o b o b⁻¹ o a⁻¹ a b⁻¹ o a⁻¹ o a o b

Ukažme, že obě veličiny jsou rovny e.

a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹

= a o e o a⁻¹

= a o a⁻¹

= e

Stejně pro druhý výraz.

• Je to jiný přístup k pojmu grupy.

• Ontologie grup.

• Pokud chceš.

• Ale něco mi napovídá, že toto bude účinné.

• Teď zapomeň na všechno, dokonce i axiom sendviče. Uvažujme množinu E vybavenou asociativní vnitřní operací o. Předpokládejme, že v této množině existuje prvek, který při složení s každým jiným prvkem hraje roli neutrálního prvku:

a o e = e o a = a - Je jedinečný?

• Pokud existuje, je nutně jedinečný, to lze dokázat.

• Aha, to je pravda.

• Řeknu, že dva prvky a a b jsou navzájem inverzní, pokud

a o b = b o a = e

Pokud máme dáno a, pak b je jeho inverzní prvek. Říkám, že pokud omezíme množinu na podmnožinu prvků, které mají inverzní prvek, tato podmnožina tvoří grupu. Je to způsob, jak vytvořit grupy. Jinými slovy vybíráme z množiny prvky splňující tuto vlastnost a říkám, že to stačí, abychom tvrdili, že tato podmnožina tvoří grupu.

Je třeba ukázat, že tato vlastnost je uzavřená.

• Co tím myslíš?

• Jsou-li dva prvky a a a' splňující tuto vlastnost, tedy:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a má inverzní prvek b

a' má inverzní prvek b'. Jsou tedy v uvažované podmnožině. Je třeba ukázat, že a o a' má také inverzní prvek.

Odstranme tyto "kroužky", které jsou těžké.

a' o b' = e

Vynásobme zleva a a zprava b:

a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e

Tedy:

( a o a' ) ( b' o b ) = e

Začněme znovu od:

b o a = e

Vynásobme zleva b' a zprava a':

b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e

( b' o b ) ( a o a' ) = e

Tedy prvek získaný složením a a a', které mají inverzní prvky, má také inverzní prvek.

• Zbývá ukázat, že tato podmnožina opravdu tvoří grupu.

• A to provedu tak, že ukážu, že tato podmnožina splňuje axiom sendviče, tedy že:

a o y o b = c

má právě jedno řešení y.

• Rozumím. Axiomaticky postupuješ opačně než dříve. Dříve jsi si dal axiom sendviče a ukázal, že to znamená existenci inverzních prvků. Teď předpokládáš, že všechny prvky množiny mají inverzní prvky a použijeme tuto vlastnost, abychom znovu odvodili axiom sendviče.

• Nejlepší způsob, jak ukázat, že rovnice má právě jedno řešení, je jej sestrojit. Vynásobme výše uvedenou rovnici zleva a⁻¹ a zprava b⁻¹.

a⁻¹ o a o y o b o b⁻¹ = a⁻¹ o c o b⁻¹

( a⁻¹ o a ) o y o ( b o b⁻¹ ) = a⁻¹ o c o b⁻¹

y = a⁻¹ o c o b⁻¹

• Tedy y je skutečně řešením rovnice:

a o y o b = c

Při dosazení sestrojeného řešení dostáváme:

a o ( a⁻¹ o c o b⁻¹ ) o b = c

...Tím předpokládáme, že můžeme manipulovat se závorkami a zobecnit asociativitu. Předpokládáme (jedná se o jeden z axiomů), že můžeme izolovat dva prvky v posloupnosti operací

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

Je třeba ukázat, že je dovoleno umístit tři prvky mezi dvě závorky. To přijmeme bez důkazu.

Aplikace:

...Uvažujme množinu reálných čísel vybavenou násobením x jako operací. Je to vnitřní operace, ale není to grupa podle tohoto nového souboru axiomů. Skutečně rovnice definující prvek e:

e o e = e

má dvě řešení:

e = +1 a e = -1

...Uvažujme předchozí konstrukci. Máme množinu (reálná čísla), operaci, asociativní (násobení). Tato množina má neutrální prvek 1, který není definován jako řešení rovnice

e o e = e

ale jako prvek, který při složení s každým jiným prvkem množiny (včetně sebe sama) dává tento prvek, jinými slovy klasická definice:

Pro každé a patřící do množiny E platí:

e o a = a o e = a

Z klasické definice inverzního prvku:

a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e

...Ukázali jsme, že podmnožina prvků s inverzním prvkem tvoří grupu. Tedy reálná čísla bez nuly tvoří grupu.

Zvažme čtvercové matice typu (n,n). Mají neutrální prvek:

s nulami mimo hlavní diagonálu, kde jsou "1".

Inverzní matice tvoří grupu, kterou nazýváme lineární grupu GL(n).

• Mě to celé moc líbí.

• Hmmm... je to jen varianta klasické axiomatiky. Představil jsem to na konferenci epistemologie v Grenoble před týdnem.

NAKONCI