Ponoření plochy do R3 je reprezentace, kde je tečná rovina spojitá a kde neexistuje žádné množina samoprůniku PŘÍLOHY :
P ponoření plochy do R3 je reprezentace, kde je tečná rovina spojitá a kde neexistuje žádné množina samoprůniku. Koule a torus mohou být ponořeny do R3.
Imerze plochy do R3 má také spojitou tečnou rovinu, ale existuje množina samoprůniku. Příklady: Boyova plocha, Kleinova bára.
Vždy lze převést ponoření na imerzi. Vezměme kouli a přiblížme k sobě dva body uvnitř, například antipodální („póly“). V tomto „nemateriálním“ světě imerzí mohou plochy procházet samy sebou. Vzniká pak křivka samoprůniku (zde kruh).
Ale opak není automaticky možný. Takže projektivní rovina nemůže být ponořena do R3, může být jen imerzována. Klasická forma této imerze je Boyova plocha, která má množinu samoprůniku ve tvaru trojité spirály s trojným bodem (kde se kříží tři plochy). Viz obrázky 29a a 29b. Totéž pro Kleinovu báru, jejíž minimální samoprůnik je uzavřená křivka. Viz Topologicon, str. 46. Ponoření lze považovat za speciální případ imerze, kde je množina samoprůniku prázdná. Repräsentace, kde se objevují cuspové body, nejsou imerze, protože tyto body jsou singulární vzhledem ke spojitosti tečné roviny. Nazvěme tyto reprezentace střihy objektů v R3. Střih plochy v R3 může vypadat jako „téměř všude“ imerze, tedy s spojitostí tečné roviny, kromě konečného počtu bodů. Ale to není dostatečně přesná definice, protože existuje několik způsobů, jak zavést nespojitost tečné roviny. Tuto otázku nespojitostí si projdeme později.
Plochy, a obecněji geometrické objekty: bod, přímka, uzavřená křivka, „křivka s hranou“ (úsečka nebo „boule b1“), disk atd. jsou jako objekty jazyka. Hrál jsme si s těmito prvky v Topologiconu (viz CD-Lanturlu), „slova“ nebo „písmena“, která lze použít k vytváření slov a vět podle syntaxe. Tyto objekty nazýváme konstrukce.
Existují transformace, které jsou pravými geometrickými operátory. V článku jsme popsali operaci vytváření a zániku cuspových bodů. Podrobněji to vysvětlíme.
Základní objekt je to, co bychom mohli nazvat „gamma válcem“.
Má čáru samoprůniku, z které, zúžením trubkového průchodu nahoře, vytvoříme dva cuspové body.
Začneme operací zúžení: 
Průřez plochy je stále „gamma“, ale odpovídá průchodu, který se zužuje. Analýza okolí singulárního bodu je vždy obtížná. Existuje několik možných obrázků odpovídajících různým typům singulárních bodů.
Bod G odpovídá spojení dvou cuspových bodů. Angličané nazývají všechny singulární body „cusps“. Překlad (slovník): roh, špička. Ale špička rohu je kuželový bod. Larousse: cuspida: ostrá a prodloužená špička, latinsky cuspida: špička. Singulární bod vzniklý spojením může mít jiný tvar, například: 
Příčný řez je stejný: tento „V“ obrácený, ale nejde o stejný objekt ani o stejnou singulární bod. V každém případě lze přejít z jednoho z těchto obrázků na:
Kde máme dva cuspové body C1 a C2. Průřez se změnil (znázorněný vpravo s rovinou řezu nad obrázkem).
Je to úprava „C“.
Detail: 
Vysvětlil jsem příteli, telefonem, co je to cuspový bod.
-
Představ si, že sedíš na koni. Najednou těma nohama stlačíš koně, aby se tvoje dvě nohy-segmenty dotkly. Plocha-koně se změní. Jeho pravá hýžď se spojí s jeho levou ramenem a jeho levá hýžď s jeho pravým ramenem.
-
Ale kde je cuspový bod?
-
Sedíš na něm.
Jev změny spojení ploch se nazývá chirurgie. Operace popsaná níže je vytvoření cuspového bodu z parabolického válce („kůň“ z předchozího):
Po „stlačení koně“: 
Nahoře je cuspový bod.
Cuspový bod získaný stlačením plochy podél úsečky a změnou spojení ploch (chirurgie) nám umožňuje pochopit, jak lze převést kouli na Cross-Cap (nazývanou také ve francouzštině „koule s křížovým kloboukem“) stlačením koule s vlnítkem. 
Vlnítko se tak stává nejjednodušším nástrojem pro přeměnu koule na jednostrannou plochu.
Níže je Cross-cap:
Krátká poznámka: jak „sítovat“ Cross-cap? Můžeme začít s jednou z jejích polyedrických reprezentací:
Odtud můžeme odvodit sítě kolem cuspového bodu:
Znamená to, že úder vlnítkem automaticky přemění dvoustrannou plochu na jednostrannou? Ne, viz následující obrázek: 
Zde jsme stlačili kouli mezi dvěma pravítky. Zůstává dvoustranná. Malujte ji, uvidíte. Můžete použít dvě barvy (pro Cross-cap byste nemohli, protože je jednostranná):
Jiný pohled: 
Tímto způsobem koule nám ukazuje polovinu svého vnějšku a polovinu svého vnitřku. Pokud máte potíže s viděním tohoto objektu, zde je jeho polyedrická reprezentace:
Když narazíte na takové polyedrické reprezentace, mohli byste se pokusit použít rozklad na „kontrahovatelné buňky“ (viz Topologicon, na CD-Lanturlu), abyste se pokusili spočítat Eulerovu-Poincarého charakteristiku. Polyedrické reprezentace koule (jednoduchý krychle), nebo toru, umožňují výpočet jejich charakteristiky. Dva pro první a nula pro druhou. V albumu, str. 47, tam byl náčrt „Boy-Krychle“, kde jsou znázorněny hrany. Při této příležitosti můžete toto postavit pomocí „Reynolds profilů s čtvercovým řezem“, lehkého slitiny, používaného k vytváření poliček. Narežte čtvercové trubky co nejpřesněji, poté je sestavte s plastovými součástmi. Připravte si objekt o šířce 80 cm. Je to velmi hezké. Na další stránce je výřez pro sestavení objektu. Na str. 47 jsem použil objekt k výpočtu charakteristiky Boy: 28 vrcholů, 43 hran, 16 stěn:
28 - 43 + 16 = 1
Ale ve vašem objektu si všimnete jedné věci: množina samoprůniku je „neexistující“. Polyedrická reprezentace Cross-cap uvedená výše se nehodí pro tento rozklad na body, hrany, stěny s počítáním. Totéž pro Rómovu plochu Steiner. S cuspovými body (anglicky „pinch points“, „body stlačení“), tyto plochy jsou takové, že množina samoprůniku je součástí polyedrické reprezentace. Nejedná se tedy o objekty s výukovou hodnotou. Objekt nahoře je „dva čtvercové hranoly spojené podél hrany“. Stejně jako polyedrická verze Steiner (viz výše) je „čtyři krychle spojené podél hran“.
Pokud se odkážeme na náš článek z roku 1979 „Otočení koule“, Bernard Morin a Jean-Pierre Petit, Pour la Science 1979 (plus dvě poznámky v Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, prezentované Lichnerowiczem, téhož období), najdeme třídění ponoření a imerzí koule a toru.
Zmiňován je základní teorém, díky americkému matematikovi Stevenu Smaleovi (Fieldova medaile)
Existuje pouze jedna třída imerzí koule S2 v R3.
Ponoření koule S2 jsou samozřejmě speciální případy imerzí (bez množiny samoprůniku).
Koule je dvoustranná: rozlišujeme mezi „standardním ponořením koule“ a jejím „antipodálním ponořením“ (stejné, ale obrácené). Smaleův teorém, čistě „formální“, implikoval, že lze přejít od koule k „převrácené kouli“ pomocí spojité posloupnosti imerzí. Smale byl si jistý svým teorémem a jeho důkazem, ale chyběla jeho grafická ilustrace, konstrukce.
Anthony Phillips, v roce 1967, byl první, kdo vytvořil tuto transformaci (existuje nekonečně mnoho možných konstrukcí, tedy cest, spojitých posloupností imerzí vede od standardní koule k jejímu antipodálnímu ponoření). Morin, francouzský matematik, slepý od pěti let, našel druhou verzi, kterou jsem nakreslil v roce 1975 (článek Pour la Science 79). V textu, který věnuji otočení koule, uvidíte, že otočení toru (alespoň jeho jednoduchou verzi) následuje okamžitě. V článku PLS, napsaném Morinem, je zmíněno čtyři třídy imerzí toru, klasifikace z prací Maurice Hirsch, Ioan James a Emery Thomas. Viz Pour la Science 79, obrázek 12 (nechci zdůrazňovat, protože v budoucím článku si to znovu projdeme). Imerze toru se tvoří takto ve čtyřech „ostrovech“, čtyřech „kontinentech“. Uvnitř jednoho kontinentu lze plout, spojující spojité posloupnosti imerzí, operace, kterou nazýváme pravidelná homotopie. Dvě imerze, které lze spojit „cestou“ složenou z spojité posloupnosti homotopií, se nazývají homotopické. Je nemožné přejít z jednoho z „kontinentů“ imerzí toru do jiného pravidelnou homotopií. Existují čtyři odlišné třídy homotopie. Ve jedné z těchto tříd se nachází standardní torus a ten samý, převrácený, „antipodální torus“. Také najdete objekt získaný otáčením symbolu „nekonečno“ kolem osy obsahující rovinu, ve které je nakreslen, nebo číslice osm, bez rozdílu. Je překvapivé vidět, že tyto objekty jsou homotopické:
Článek PLS ukazuje, jak přejít od jednoho k druhému, podle „ne-triviální“ verze otočení toru, kterou jsem vymyslel (poznámka v CRAS J.P.Petit, kterou v současnosti nemám na paměti odkazy), která se nachází na stránkách 47 a 47 článku PLS nebo na obálce Topologiconu. Toto otočení pak prochází dvoulistným pokrýváním Kleinovy báry (viz Topologicon, str. 52).
Malá poznámka, bez žádného žalu: nikdy jsem nebyl oceněn cenu Alemberta (odměňující práci na popularizaci matematiky). Otázka byla diskutována v komitétu, jednou na začátku 80. let. Christian Brochet, ředitel CSSTI v Poitiers, byl mezi nimi a podporoval mou kandidaturu s vášní. Ale jiný člen pak řekl suše:
- Petit nepíše jen knihy jako Topologicon, Géométricon a Trou Noir. Je také autorem jiného komiksu: Mur du Silence (viz CD-Lanturlu).
Členové komise pak závažně přikývli a soubor „JPP“ byl definitivně uzavřen. Pro stejný důvod nebudete najít mé jméno vedle Boyovy plochy, která by měla být v Palais de la Découverte (kde se dokončuje oxidace). Přesto jsem vymyslel její severní reprezentaci pomocí elips (což umožnilo Apérymu objevit první implicitní rovnici).
Existují knihy, které jsou stejně jako nevymazatelné skvrny v kariéře vědce. Mur du Silence je jedna z nich. Rozumějte proč. Tato kniha porušuje jedenácté přikázání Boha:
- Nebudeš studovat to, co je kruhové a létá.