Analytické vyjádření povrchu Boyho

f5101 Analytické znázornění povrchu Boye J.P. Petit a J. Souriau .

**...**Níže uvedená reprodukce poznámky z Comptes Rendus Akademie věd v Paříži, podepsané J.P. Petitem a J. Souriauem, pocházející z roku 1981.

**...**Tento pracovní příspěvek má svou historii. Až do vydání mého alba Topologicon v roce 1985 nakladatelstvím Belin v sérii Aventures d'Anselme Lanturlu byly znázornění povrchu Boye v odborné literatuře velmi vzácná. Na místech se objevovaly fotografie modelů vyrobených buď z vápna, nebo z drátěného pletiva. Charles Pugh z katedry matematiky Univerzity v Berkeley je světovým odborníkem na drátěné pletivo. Přesně tímto materiálem dosáhl významného finančního ocenění, když vytvořil modely popisující obrácení koule podle Bernarda Morina, které byly později digitalizovány Nelsonem Maxem a transformovány na film, který se rozšířil po celém světě ve všech matematických ústavech.

**...**Avšak považuji drátěné pletivo za materiál málo důstojný, zvláště pro tak vysokou vědeckou úroveň. Poznámkou plastika jménem Max Sauze jsem se naučil technice hřebíku z měděného drátu, který je zároveň pružný i pevný, a který Max s překvapivou důmyslností svařoval, přičemž se vyhýbal přehřátí, aby v materiálu nevznikly nepříjemné napětí.

**...**Můj přítel Jacques Boulier, známý jako Vasselin, byl v té době profesorem na Akademii výtvarných umění v Aix-en-Provence. Jednoho roku mi nabídl, abych nahradil jednoho z jeho kolegů, který odjel do zahraničí – což jsem udělal, přičemž jsem pracoval na poloviční úvazek spolu s Sauze. Zatímco já vymýšlel objekty, Max je svařoval. Naše studenti, kolem nás zvědavě kroužící, se snažili nás co nejlépe napodobit. V té době byla tato část Akademie výtvarných umění v Aix-en-Provence přeměněna na skutečnou továrnu na sériové výroby matematických ploch.

**...**Chcete-li se do toho pustit, není to složité. Potřebujete válcový kus měděného drátu, například o průměru 1,5 mm, maximálně 2 mm, a kovové kleště. S tímto vybavením můžete vytvořit oba systémy křivek tvořící jakoukoli plochu.

**...**Problém spočívá v tom, aby se objekty správně tvarovaly. Je vhodné mít možnost posouvat body spojení, kde se „meridiány“ a „rovnoběžky“ protínají. Dobře se osvědčilo jednoduché svázání obou kovových drátů běžným šicím provázkem. Je to dost pevné, aby objekt držel tvar, ale přitom dost kluzké, aby umožnilo deformace a úpravy.

**...**Teprve když se domníváte, že objekt je matematicky v souladu s vašimi požadavky, můžete jej předat někomu, kdo umí svařovat stříbrem s přesností a dokáže to provést bez přehřátí tyčí – což Max dělal s vynikajícím uměním.

**...**Jeden den jsem přinesl prototyp povrchu Boye, po tom, co jsem objevil, jak se „meridiány“ a „rovnoběžky“ mají správně uspořádat. Zdálo se, že lze docílit toho, aby meridiány vypadaly skoro jako rodina elips.

**...**Max pečlivě zkopíroval objekt. Pak jsem přišel k Souriauovi. Jeho syn (který by nikdy neměl trpělivost dokončit bakalářské studium fyziky) si hrál s Apple II svého otce. Řekl jsem mu:

Jérôme, měl bys rád matematickou publikaci vlastním jménem?
Proč ne? Koho mám zabít?
Nikoho. Podívej se na tento objekt. Vezmi úhloměr, změř tyto elipsy a zkus nám vytvořit polovinu empirického znázornění této plochy.
Můžeme to zkusit, dej...

**...**Dva dny nato bylo hotovo. Článek byl rychle přijat do Comptes Rendus Akademie věd v Paříži a publikován pod našimi jmény: J.P. Petit a J. Souriau.

**...**Ale protože otec se jmenuje Jean-Marie a syn Jérôme, všichni matematici jsou přesvědčeni, že to byl společný výkon otce a mě.

**...**Kresba povrchu na počítači pomocí jednoduchého programu BASIC o několika řádcích překvapila mnoho matematiků, kteří očekávali něco složitějšího. Případ měl nepříjemné důsledky. Matematik Bernard Morin měl v té době doktoranda jménem Apéry, syna Apéryho-předka, autora nezapomenutelného věty, podle níž součet krychlových čísel je iracionální číslo. Mezi jiným...

**...**To jsem nevěděl. Naše pokrok Morina velmi znepokojil, zejména proto, že jsem mu tehdy naivně prohlásil, že tato metoda by měla umožnit popsat čtyřouškový povrch, který ho učinil slavným – ten, který byl vytvořen Pughem z drátěného pletiva, digitalizován Maxem atd.

Morin se zamračil:

Ne, to je nemožné!

**...**To si představíme později. Já jsem si stále jistý opakem. Ale tato věta byla zrcadlem slavného výroku, který Archimedes vykřikl římskému vojákovi, který jej rušil ve svých úvahách – Noli tangere circuleos meos!

Ve francouzštině „ne dotýkej se mých kruhů!“

Zde to bylo spíše „ne dotýkej se mých elips!“

**...**Následně Apéry využil mou objev, že lze povrchu Boye dodat systém eliptických meridiánů, k vytvoření první implicitní rovnice tohoto objektu:

f(x,y,z) = 0

**...**Morin, vzteky z toho, že se měl objevit jako někdo, kdo porušuje jeho vlastní matematické práce, donutil Apéryho uvést v jeho disertaci, že právě Sauze objevil myšlenku elips. Max to nevyvracel, ale je to nesprávné. Důkaz je v mé sklepě: model, který jsem přinesl Maxovi, aby jej upravil.

**...**Nakonec je to všechno trochu absurdní. Tato historka má ukázat, že matematici nejsou o nic chytřejší než fyzici.

**...**Polytechnicián Colonna, pionýr v oblasti počítačové grafiky, použil naše rovnice bez uvedení jejich původu. Ale existuje zábavná drobnost: pokud vidíte na obrazovce obrázky povrchu Boye, a jsou to „naše“, pak vždy nevyhnutelně ukážou tři jemné „záhyby“ blízko pólu. Chyba v úpravě rovnic. Jérôme, syn Souriaua, to udělal pospíchaje, a malý poslední zahnutí drátu v blízkosti pólu by bylo vhodné. To se stále dá provést, kdo chce.

**...**Příběh povrchu Boye je stále otevřený. Pro dokonalost zmíním jednu postavu: Carlo Bonomi, italský miliardář. Seznámen s ním během expedice do Bermuda Triangle (ale to je jiný příběh). Pluli jsme rychle na jeho luxusním yátu, které bylo tak krásné, že se z něj ztratil dech, na hledání pohřbené pyramidy, o které zmínil Charles Berlitz v jedné z jeho knih. Pyramidu jsme nenašli a jen těsně jsme se vyhnuli útoku mnoha velkých šelem, které pobývaly v těchto místech. Pokud máte atlas, místo, kde měla být „Atlantská pyramida“, se nachází jihozápadně od útesu zvaného Cay Sal Balk, padesát mil jižně od Kuby.

**...**Mezi dvěma potápěními a dvěma večeřemi s kaviárem jsem Bonomimu navrhl, aby založil hromadnou výrobu povrchů Boye. Nápad mu přišel vhod a následovala další fáze. Řekněme, že povrch Boye, který zdobí matematickou síň Palais de la Découverte v Paříži, byl placen Bonomim a vyroben Sauze. Finančník plánoval výstavu s objekty z hmotného zlata. Ale případ nešel dál. Překvapený jeho dlouhým mlčením jsem zavolal do jeho kanceláře v Miláně. Bohužel byl zapleten do skandálu loge P2, uvězněn a jeho zájem o topologii trpěl nevratným poškozením.

**...**Dvojlistové pokrytí povrchu Boye, obraz projektivní roviny P², je koule S² (viz Topologicon). Pugh vytvořil toto pokrytí pomocí dvou vrstev drátěného pletiva – objekt zcela výjimečný, i když – jak jsem řekl – preferuji osobně měděný drát a znázornění meridiánů a rovnoběžek. Ale i v čisté matematice:

De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Než představím poznámku, ještě jedna historka. Charles Pugh tedy vyrobil sedm modelů z drátěného pletiva, což mu zajistilo významné ocenění, popisující postupné kroky obrácení koule, o kterém bude řeč, až najdu pět minut na to, abych to umístil na web, a tyto modely byly zavěšeny na stropě jídelny katedry matematiky Univerzity v Berkeley.

**...**Matematici po celém světě proto přicházeli jako poutníci, aby se obdivovali této úžasné posloupnosti. Ale jedné noci byly modely ukradeny a nikdo neví, co se s těmito sedmi objekty stalo – navíc byly naprosto nekupní. Kdo by přijal takovou transakci? Případně bohatý amatér, část estetik, část matematik, nechal si operaci financovat, aby je uložil do zabezpečené sklepy, jen pro svou radost být jediným člověkem, který může obdivovat osmou divotu světa, i kdyby byla vyrobena z drátěného pletiva.

**...**Pugh, i přes své mistrovství v práci s materiálem, neměl odvahu začít novou sérii.

**...**Jak už jsme řekli na začátku webu, život samotného Werner Boye zůstává záhadou. Po vynálezu povrchu, který mu přinesl slávu, se zcela vypařil po opuštění univerzity. I přes své úsilí nemohl Hilbert najít jeho stopu a dokonce nevíme ani, kde byl pohřben.

**...**Vrátíme se k matematice. Následující poznámka je relativně snadno čitelná. Z rovnic 1 až 8 může každý probuděný středoškolák vytvořit velmi krásné obrázky a ověřit, že řezy odpovídají obrázku 5.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5. říjen 1981) Série 1 – 269
GEOMETRIE. – Analytické znázornění povrchu Boye. Poznámka Jean-Pierre Petit a Jérôme Souriau, předložená André Lichnérowiczem.

Představujeme analytické znázornění povrchu Boye, které umožňuje jeho vykreslení.

1. ÚVOD.
**...**Povrch objevený matematikem Wernerem Boyem, žákem Hilberta, v roce 1901, je dobře znám matematikům. Může sloužit jako klíčový krok při obrácení koule (viz [1] a [2]).

**...**V roce 1979 (J.P.P.) jsem vytvořil model z kovového drátu, který ukazoval pozice, které měly zabrat meridiány povrchu. Druhá práce provedená v roce 1980 spolu sochařem Maxem Sauze umožnila vytvořit druhý model, ve kterém se křivky nacházely v rovinách a vypadaly dost podobně jako elipsy. Z takového modelu se zdálo možné vytvořit analytické znázornění plochy s topologií povrchu Boye, jejíž meridiány jsou elipsy procházející jediným pólem.

2. JAK VYTVOŘIT POVRYH BOYE POMOCÍ ELIPSY.

**...**Umístěme pól do počátku souřadnic. V tomto bodě bude povrch tečný k rovině (XOY). Bude tedy mít osu OZ jako osu trojí symetrie (viz obrázek 1). Meridiány jsou tedy elipsy umístěné v rovinách Pm. Nechť OX1 je průsečnice roviny Pm s rovinou XOY. Označme m úhel (OX, OX1). V této rovině Pm umístěme druhou osu OZ1 kolmou na OX1. Označme a úhel (OZ, OZ1).

a5101

a5108

Obr. 1 a Obr. 2

**...**Prvním parametrem této analytické reprezentace bude úhel m. Úhel a budeme považovat za funkci m (bude definována později). V rovině Pm nyní nakreslíme elipsu tečnou v bodě O k OX1 (viz obrázek 2). Osy této elipsy budeme volit rovnoběžné s osami úhlů mezi X1 a OZ1. Označme A(m) a B(m) hodnoty os této elipsy. Tato elipsa Em bude generována druhým volným parametrem q.

**...**Zhrnuto: získáme souřadnice X(m,q), Y(m,q), Z(m,q bodu na povrchu.

**...**V této polovině empirické metodě umožnily měření provedená (J.S.) přibližné určení funkcí a(m), A(m) a B(m). Povrch byl pak vykreslen na počítači „Apple-II“ a získaly se řezy při Z = konst. Analýza těchto řezů umožnila potvrdit topologickou identitu s povrchem Boye. Bylo to možné jen za podmínky numerické experimentace (J.S.), která umožnila odstranit parazitní dvojice singulárních bodů (vznik párů špičatých bodů).

**...**Zvolili jsme: (1) A(m) + 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)

(2) B(m) + 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)

(3)

**...**V soustavě X1 O Z1 jsou souřadnice středu elipsy Em: (4)

a5104