Analytické vyjádření povrchu Boye

f5101 Analytické vyjádření povrchu Boye J.P. Petit a J. Souriau .

**...**Níže uvedený text je reprodukcí poznámky z Comptes Rendus de l'Académie des Sciences v Paříži, podepsané J.P. Petitem a J. Souriauem, pocházející z roku 1981.

**...**Tento pracovní příspěvek má svou historii. Až do vydání mého alba Topologicon nakladatelstvím Belin v sérii Aventures d'Anselme Lanturlu v roce 1985 byly reprezentace povrchu Boye v odborné literatuře velmi vzácné. Na různých místech se objevovaly fotografie modelů vyrobených buď z vápna, nebo z drátěného pletiva. Charles Pugh z matematického oddělení univerzity v Berkeley je světovým odborníkem na drátěné pletivo. Přesně tímto materiálem získal významnou finanční odměnu za výrobu modelů popisujících obrácení koule podle Bernarda Morina, které byly později digitalizovány Nelsonem Maxem a převedeny na film, který se rozšířil po celém světě ve všech matematických ústavech.

**...**Avšak považuji drátěné pletivo za poměrně nevážný materiál, zvláště pro tak vysokou vědeckou úroveň. Když jsem se seznámil s plastikem jménem Max Sauze, naučil jsem se technice hřebíkového měděného drátu, který je zároveň pružný i pevný, a který Max s přesností svařoval, snažil se nezahřívat materiál příliš, aby se v něm nevytvořily nepříjemné napětí.

**...**Můj přítel Jacques Boulier, známý jako Vasselin, byl v té době profesorem na Akademii výtvarných umění v Aix-en-Provence. Jednoho roku mi nabídl, abych nahradil jednoho z jeho kolegů, který odjel do zahraničí – což jsem udělal, přičemž jsem pracoval na poloviční úvazek spolu s Sauze. Zatímco já vymýšlel objekty, Max je svařoval. Naše studenti kolem nás, zaujatí, se snažili nás co nejlépe napodobit. V té době byla tato část Akademie výtvarných umění v Aix-en-Provence přeměněna na nějakou sortu továrny na sériovou výrobu matematických povrchů.

**...**Pokud si chcete také zkusit, není to složité. Potřebujete válec měděného drátu, řekněme průměru 1,5 mm, maximálně 2 mm, a kovové kleště. S tímto vyrobíte obě rodiny křivek, které tvoří každý povrch.

**...**Problém spočívá v tom, aby byly objekty správně tvarovány. Je vhodné mít možnost posouvat spojovací body tam, kde se protínají „meridiony“ a „rovnoběžky“. Dobře se osvědčilo jednoduché zavázání dvou kovových drátů běžným šicím provázkem. Je to dost pevné, aby objekt měl pevnost, ale přitom dost klouzavé, aby bylo možné provádět deformace a úpravy.

**...**Teprve když budete mít pocit, že objekt je matematicky v souladu s vašimi představami, můžete jej předat někomu, kdo umí svařovat stříbrem s obratností a dokáže svařit, aniž by přehřál tyčky – což Max uměl s vysokou uměleckou zručností.

**...**Jednoho dne jsem přinesl prototyp povrchu Boye, po objevení, jak se „meridiony“ a „rovnoběžky“ mají správně uspořádat. Zdálo se, že lze dosáhnout toho, aby meridiony vypadaly skoro jako rodina elips.

**...**Max pečlivě zkopíroval objekt. Pak jsem přišel k Souriauovi. Jeho syn (který nikdy neměl trpělivost dokončit bakalářské studium fyziky) si hrál s Apple II svého otce. Řekl jsem mu:

Jérôme, měl bys rád matematickou publikaci vlastním jménem?
No proč ne? Koho mám zabít, aby to bylo možné?
Nikoho. Vidíš tento objekt. Vezmi úhloměr, změř tyto elipsy a zkus nám sestrojit polovýstavní reprezentaci tohoto povrchu.
Můžeme to zkusit. Dej...

**...**Dva dny poté bylo hotovo. Článek byl rychle přijat do Comptes Rendus de l'Académie des Sciences v Paříži a publikován pod našimi jmény: J.P. Petit a J. Souriau.

**...**Ale protože otec se jmenuje Jean-Marie a syn Jérôme, všichni matematici jsou přesvědčeni, že to byl společný výkon, který jsme vykonal spolu, otci Souriau a já.

**...**Kresba povrchu na počítači pomocí malého programu BASIC o několika řádcích překvapila mnoho matematiků, kteří očekávali něco složitějšího. Případ měl nepříjemné následky. Matematik Bernard Morin měl v té době doktoranda jménem Apéry, syna Apéryho-otce, autora nezapomenutelného věty, že součet krychliček celých čísel je iracionální číslo. Mezi jiným...

**...**To jsem nevěděl. Naše pokrok Morina velmi znepokojil, zejména proto, že jsem mu tehdy naivně prohlásil, že tato metoda by měla umožnit popsat povrch s čtyřmi ušima, který ho učinil slavným – ten, který byl postavený Pughem z drátěného pletiva, digitalizován Maxem atd.

Morin se zamračil:

Ne, to je nemožné! ...

**...**To si probereme později. Jsem přesvědčený o opaku. Ale tato věta byla ekvivalentem slavného výroku, který Archimedes vykřikl římskému vojákovi, který ho rušil ve svých úvahách – Noli tangere circuleos meos!

Ve francouzštině „ne touche pas à mes cercles!“

Zde to bylo spíše „ne touche pas à mes ellipses!“

**...**Následně Apéry využil mou objev, že lze povrchu Boye dodat systém eliptických meridiánů, k sestrojení první implicitní rovnice tohoto objektu:

f(x,y,z) = 0

**...**Morin, vzteklý tím, že jsem se objevil jako někdo, kdo ruší jeho vlastní matematické práce, donutil Apéryho v jeho disertaci zdůraznit, že právě Sauze objevil eliptický trik. Max to nevyvracel, ale je to nesprávné. Důkaz je v mé skříni: model, který jsem přinesl Maxovi, aby ho upravil.

**...**Nakonec je to všechno trochu absurdní. Tato historka má ukázat, že matematici nejsou o nic chytřejší než fyzici.

**...**Polytechnicián Colonna, pionýr v oblasti počítačových obrázků, použil naše rovnice bez zmínění jejich původu. Ale existuje zábavný detail: pokud se na obrazovce objeví obrázky povrchu Boye, a jsou to „naše“, budou nevyhnutelně tři drobné „záhyby“ u pólu. Chyba v přizpůsobení rovnic. Jérôme, syn Souriaua, to udělal rychle, a malý poslední úder železem v blízkosti pólu by nebyl zbytečný. To je stále možné provést, kdo chce.

**...**Příběh povrchu Boye není uzavřen. Pro dokonalost zmíním jednu postavu: Carla Bonomi, italského miliardáře. Seznámen byl při expedici do Bermuda Triangle (ale to je jiná historka). Pluli jsme rychle na jeho luxusním jachtě, který byl tak nádherný, že se ztratil dech. Hledali jsme pohřbenou pyramidu, o které zmínil Charles Berlitz v jedné z jeho knih. Pyramidu jsme nenašli a téměř bychom byli snědeni mnoha velkými šípy, které obývaly tyto oblasti. Pokud máte atlas, místo, kde měla být „Atlantská pyramida“, je na jihozápadě útesu zvaného Cay Sal Balk, padesát mil jižně od Kuby.

**...**Mezi dvěma potápěními a dvěma večeřemi s kaviárem jsem Bonomimu navrhl, aby založil intenzivní výrobu povrchů Boye. Nápad mu přišel dobrý a následovalo to. Řekněme, že povrch Boye, který ozdobuje matematickou síň Palais de la Découverte v Paříži, byl zaplacen Bonomim a vyroben Sauze. Finančník plánoval výstavu s objekty z hmotného zlata. Ale případ se neuskutečnil. Překvapený jeho dlouhým mlčením jsem zavolal do jeho kanceláře v Miláně. Bohužel, zapleten do skandálu loge P2, byl uvězněn a jeho zájem o topologii trpěl nevratně.

**...**Dvojlistý pokryv povrchu Boye, obraz projektivní roviny P², je koule S² (viz Topologicon). Pugh tento pokryv vytvořil z dvou vrstev drátěného pletiva – objekt všude výjimečný, i když, řeknu-li, preferuji osobně měděný drát a reprezentaci meridiánů-rovnoběžek. Ale i v čisté matematice:

De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Než představím poznámku, ještě jedna historka. Charles Pugh tedy postavil sedm modelů z drátěného pletiva, což mu přineslo významnou odměnu, popisující postupné kroky obrácení koule, o kterém bude řeč, až najdu pět minut, abych to umístil na web, a tyto modely byly zavěšeny pod stropem jídelny matematického oddělení univerzity v Berkeley.

**...**Takže matematici ze všech koutů světa přijížděli na poutníctví, aby se zbožňovali před touto úžasnou posloupností. Ale jedné noci byly modely ukradeny a nikdo neví, co se s těmito sedmi objekty stalo – navíc jsou naprosto nekupní. Kdo by přijal takový obchod? Případně bohatý milovník umění, částečně estetik, částečně matematik, který by financoval operaci, aby je uložil do zabezpečené sklepní komory, jen pro svou radost být jediným člověkem, který může obdivovat osmou divotu světa, ať už byla vyrobená z drátěného pletiva.

**...**Pugh, i přes svou zručnost s materiálem, neměl odvahu začít novou sérii.

**...**Jak jsme již řekli na začátku webu, život samotného Wernera Boye zůstává záhadou. Po vynálezu povrchu, který mu přinesl slávu, se zcela vypařil po odchodu z univerzity. I přes své úsilí Hilbert nebyl schopen jej najít a dokonce nevíme ani, kde byl pohřben.

**...**Vraťme se k matematice. Následující poznámka je relativně snadno čitelná. Z formulí 1 až 8 může každý probuděný středoškolák vytvořit krásné obrázky a ověřit, že řezy odpovídají obrázku 5.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5. října 1981), Série 1 – 269
GEOMETRIE. – Analytické vyjádření povrchu Boye. Poznámka Jean-Pierre Petit a Jérôme Souriau, předložená André Lichnérowiczem.

Představujeme analytické vyjádření povrchu Boye, umožňující jeho zakreslení.

1. ÚVOD.
**...**Povrch vynalezený v roce 1901 matematikem Wernerem Boyem, žákem Hilberta, je dobře znám matematickému světu. Může být klíčovým krokem při obrácení koule (viz [1] a [2]).

**...**V roce 1979 (J.P.P.) jsem postavil model z kovového drátu, který ukazoval polohy, které měly zabrat meridiány povrchu. Druhá práce provedená v roce 1980 spolu sochařem Maxem Sauze umožnila znovuvytvořit druhý model, kde křivky ležely v rovinách a připomínaly elipsy. Z takového modelu se zdálo možné sestrojit analytické vyjádření povrchu s topologií povrchu Boye, jehož meridiány jsou elipsy procházející jedním pólem.

2. JAK VYTVOŘIT POVrch BOYE POMOCÍ ELIPSY.

**...**Umístěme pól do počátku souřadnic. V tomto bodě bude povrch tečný k rovině (XOY). Bude tedy mít osu OZ jako osu trojí symetrie (viz obrázek 1). Meridiány jsou tedy elipsy v rovinách Pm. Nechť OX1 je průsečnice roviny Pm s rovinou XOY. Označme m úhel (OX, OX1). V této rovině Pm umístěme druhou osu OZ1 kolmou k OX1. Označme a úhel (OZ, OZ1).

a5101

a5108

Obr. 1 a Obr. 2

**...**Prvním parametrem této analytické reprezentace bude úhel m. Úhel a budeme považovat za funkci m (bude definována později). V rovině Pm nakreslíme nyní elipsu tečnou v bodě O k OX1 (viz obrázek 2). Osy této elipsy budeme umísťovat rovnoběžně s osami úhlů mezi X1OZ1. Označme A(m) a B(m) hodnoty os této elipsy. Tato elipsa Em bude generována druhým volným parametrem q.

**...**Zhrnutí: získáme souřadnice X(m,q), Y(m,q), Z(m,q bodu na povrchu.

**...**V této polovýstavní přístupu umožnily měření provedená (J.S.) na modelu přiblížení funkcí a(m), A(m) a B(m). Povrch byl pak zakreslen na počítači „Apple-II“ a získaly se řezy při Z = konst. Vyšetřováním těchto řezů bylo možné určit topologickou identitu s povrchem Boye. Tento výsledek byl dosažen pouze za cenu numerické experimentace (J.S.), která umožnila odstranit parazitní dvojice singulárních bodů (vznik dvojic špičatých bodů).

**...**Zvolili jsme: (1) A(m) + 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)

(2) B(m) + 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)

(3)

**...**V soustavě X1 O Z1 jsou souřadnice středu elipsy Em: (4)

a5104