Vraťme se k této třídě homotopií pohodlných vložení toru do R3. Vraťme se k této třídě homotopií pohodlných vložení toru do R3. Jednoduše lze spojit dva objekty znázorněné pomocí transformace „C“. Vzal jsme torus a „prošli jsme jím“ někde, vytvoříme čáru dvojnásobných bodů, což je kruh: 
Napsal jsem „dvě barvy“: šedá pro vnější část toru, bílá pro vnitřní. „Prošlý“ výše (což vede k jedné z nekonečně mnoha možných vložení „standardního toru“) tedy způsobí objevení bílé části povrchu.
Pozorujme tento objekt z bodu ležícího na ose toru:
Nahoru, část vnitřku (bílá) toru, kterou „prošlý“ objevil. Můžeme tedy provést „transformaci C“ a vytvořit dva kuželové body. 
Na bodu označeném šipkou „zúžíme“ průchod. Tato operace vytvoří dva kuželové body C1 a C2:
které můžeme přemístit, jak níže:
Zbývá provést transformaci C-1 (spojení dvou kuželových bodů):
Získáme objekt: 
Toto vložení toru je homotopní standardnímu toru.
Vidíme, že tato operace „C“ a její inverzní „C-1“, které rozšiřují univerzum vložení na univerzum posunutí ploch v R3, umožňuje dělat zajímavé věci. Můžeme sestrojit celou řadu posunutí klasických ploch (koule, projektivní rovina, torus a Kleinova láhev). Kolik tato množina má tříd?
Viděli jsme, že koule a projektivní rovina patří do jedné třídy (stejně jako pravá a levá Boyova plocha). Kolik tříd posunutí má torus? Myslím, že tento problém zatím není vyřešen. Lze přejít z jedné třídy vložení toru do jiné pomocí operací C, nebo ne? Intuitivně bych odpověděl, že ne, ale jedná se pouze o domněnku.
Konstrukce nemůže dokázat nemožnost, ale může ilustrovat možnost. Pokud někdo najde konstrukce, které umožňují přeskočit z jedné třídy do druhé, bude věta de facto dokázána, ale skutečnost, že se nepodaří najít takové konstrukce, sama o sobě není důkazem. Absence důkazu není důkazem absence. Říct, že existují čtyři třídy posunutí toru v R3, nebo říct, že existuje jen jedna, jsou domněnky, jednoduché víry, v současnosti.
Zajímavé je, že Smale dokázal, že obrácení koule je možné, předtím, než Phillips předložil první konstrukci. Může to být i naopak. Kdo by měl nápad začít takovou věc, která jde naprosto proti našemu geometrickému pocitu?
Transformace C umožňuje převést kouli na Cross cap, poté na Boyovu plochu prostřednictvím Steinerovy Rómové plochy. Podívejte se na článek. Může převést torus na Kleinovu láhev? Logicky ano, ale nemám připravenou odpověď na tuto otázku.
Zajímavé je, proč mluvíme o „projektivní rovině“? Objekty (jednostranné) znázorněné jsou konečné. Odpověď od Souriau:
- Na rovině máme „přímku v nekonečnu“. Jednoduše přilepíme tuto rovinu podél přímky v nekonečnu.
Která, jak je zřejmé, je uzavřená křivka.
V Topologiconu najdete malý animovaný obrázek, „feuilletable“, který ukazuje, jak může být Môbiusova páska s třemi poloturny přeměněna na Boyovu plochu. Poslední obrázek ukazuje tuto plochu, minus kruh. Stačí přidat tento kruh, aby byla plocha kompletní. Boyova plocha je tedy Môbiusova páska plus kruh. Cvičení: pomocí nástrojů z Topologiconu vypočítejte pak její Eulerovu-Poincarého charakteristiku (je rovna 1).
Naopak bychom mohli začít s kruhem a nechat ho rostou, při tom se samovolně prošívá, dokud se nezapojí na Môbiusovu pásku s třemi poloturny, což je jiná konstrukce.
Nalezl jsem obrázky ve své 55stránkové komunikaci, kterou jsem přednesl na konferenci o psychanalýze Lacanově v Aix-en-Provence (4. a 5. dubna 1987), věnované „Perversion“, a která se nachází v zápisu, který vydali organizátoři. Použiji tento text v budoucím dokumentu nazvaném „JPP u Lacana“.
První obrázek: kruh, který se zkroucující.
Níže, začátek tvorby množiny samoprůniku:
Následující obrázek: objevení trojného bodu:
Přestávám vkládat stíny, protože plocha se stává jednostrannou.
Níže, plocha je připravena se samozapojit podél jejího okraje.
Tam se zobrazí Môbiusova páska s třemi poloturny, dokončující plochu:
Následující obrázek: stejná páska.
Poté je to celá Boyova plocha. Nelze říct, že ji vidíme „zespodu“, protože Boyova plocha nemá ani hlavu ani ocas. Řekněme, že jak se ukazuje, vidíme její trojný bod.
Níže, její množina samoprůniku: 
Takže jste viděli, jak se rovina skládá na svou „přímku v nekonečnu“. Odtud její název: „projektivní rovina“, poněkud zvláštní na první pohled. Možná poprvé, kdy lidem ukazujeme nekonečno tak blízko.
Tyto obrázky byly složeny před dobrým desetiletím a tento internetový stránky, nebo tento CD, konečně nabízí možnost je ukázat. Čtenář se může ptát, proč se neobjevily v „Pour la Science“ nebo „La Recherche“. Nebylo to kvůli nedostatku odeslaných článků do těchto časopisů, ale redakce nepovažovala téma za zajímavé.
Doufám, že s touto „geometrickou nástrojovou krabičkou“ se vás bude spěchat vymýšlet spoustu nových ploch. Zde je jedna, vymyšlená paní Ivars. Vezměte kouli a zatlačte do dvou diametrálně opačných směrů, dva úseky stejné délky, dokud se nedotknou, představte si, že jsou svařeny na dvě tyče, takto:
Když se úseky dotknou, „chirurgie se provádí“. Máme křížení ploch podél úseku a dva kuželové body na každém konci. Níže, tato plocha, v řezu.
Stejná, v perspektivě:
Pro nástroj na výrobu ploch, „potrubní prvek“:
Když vstupuje kapalina do otvoru, sloužící jako vstup, vytéká ven zvenku trubky výstupu. Ale můžeme použít výstup jako vstup. Účinek je pak stejný. Objekt je druh geometrického operátoru, který převádí vnější na vnitřní.
Zavřením tohoto „spojky“ na sebe samotné získáme Kleinovu láhev:
Ale zde je jiná konstrukce:
Stejná, v perspektivě:
Plocha je nyní dvoustranná. Která je to?
Pomocí pravidelné homotopie, posloupnosti spojitých vložení, převedeme ji na toto:
Rozpoznali jste krabici s uchycením, ale kterou nelze otevřít zvenku. Můžete pak objekt přeměnit. Stačí provléct provázek otvorem a táhnout k sobě:
Výsledek je:
Je to torus.
Teď je na vás, abyste se vypořádali s následující konstrukcí:
vyrobenou pomocí tří těchto „spojek“.
V jiném článku uvidíme užitečnost těchto „spojek“ v případě obrácení koule.