Bez názvu
- prosince 2009
Prodal jsem povrch Boye, který jsem vytvořil
Hotovo: tento objekt o průměru sto čtyřicet centimetrů odjel dnes ráno do Belgie, koupil ho lékař, který je zároveň věrný čtenář komiksu Lanturlu a zná objekt již z čtení alba Topologicon, které je zdarma ke stažení na webu Savoir sans Frontières na:
****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm
Topologicon je zmíněn na wikipedii, ale odkaz nevede na stránku ke stažení na webu Savoir sans Frontières, což je trochu škoda. Někdo by mohl tento odkaz přidat, ale já osobně bych to nemohl, protože jsem v říjnu 2006 byl „navždy vyloučen“ z Wikipedie (za to, že jsem odhalil identitu přispěvatele, bývalého studenta École Normale Supérieure, který díky své doktorské práci z teoretické fyziky o superstrunách získal pracovní místo v bance).
Tento objekt byl vystaven po dvacet pět let ve „sálě pí“ Paláce vědy v Paříži. Před několika lety jsem jej získal v době, kdy správa Paláce chtěla do tohoto sálu umístit malý dřevěný amphiteátr. Raději jsem jej převzal, než aby byl zničen, uložen do nějaké skladové komory jako „spotřební věda“.
Když v Paláci probíhala výstava věnovaná různým teoriím o stavbě pyramid, pracovníci vyrobili docela pěknou modelovou kopii o rozměrech 50 cm x 50 cm zobrazující rohové části kamenné rampy. Chtěl jsem si objekt opět získat, ale podle posledních zpráv byl ztracen. Nebo snad jako „spotřební věda“ skončil v koši. Možná někdo z čtenářů ví něco víc?
Když navštěvujete Město vědy, je vás zaskočí přesah virtuálního světa, obrazovky s plasmou zobrazující různé věci. Až se vám může zdát: „Proč se sem vůbec chystat, když si to mohu doma přímo přes internet přečíst?“
Virtuální světy, spotřební vědy – máte snad duši?
To je v dnešní době móda.
Proč je povrch Boye důležitý v matematice? Mezi uzavřenými dvourozměrnými plochami bez singulárních bodů existují pouze čtyři:
| - Koule | - Torus | - Pohár Klein | - Povrch Boye |
|---|
První tři byly známé už dlouho. Čtvrtý byl záhadnější. Teprve koncem sedmdesátých let, když jsem byl profesorem sochařství na École des Beaux Arts v Aix-en-Provence, jsem vytvořil první reprezentaci této plochy s dvěma rodinami křivek, které odpovídají měřítkům a rovnoběžkám koule S2. Jak uvidíte v komiksu, povrch vynalezený německým matematikem Wernerem Boyem, žákem Hilberta, je výsledkem aplikace bodů koule na sebe, přičemž každý bod je ztotožněn s jeho antipodem. Tak je severní pól ztotožněn s jižním pólem. Měřítky koule „se navíjejí“ na měřítka Boye.
Okamžitě jsem měl nápad identifikovat jednu z rodin křivek s elipsami.
V té době mohl mladý Jérôme Souriau používat Apple II svého matematického otce. Jednou jsem mu řekl:
- Chceš pro mě udělat práci, která by nás zasloužila publikaci v matematickém oboru?
A Jérôme odpověděl:
- Koho mám zabít, aby to bylo?
Šlo jen o měření elips pomocí úhloměru a pravítka, aby se mohly sestrojit křivky a jejich reprezentace pomocí Fourierovy řady. Práci dokončil během jednoho odpoledne. Poznámka v zápisech Akademie věd v Paříži prošla bez problémů. Viz tento přepis poznámky
Tyto rovnice umožnily Colonnovi, vedoucímu prvního pracoviště počítačové grafiky na École Polytechnique v Paříži, vytvořit první obrázky objektu, aniž by uváděl rovnice, které použil (což je poměrně běžné v „vědecké komunitě“).
Obraz vytvořený z reprezentace JP PETIT – Jérôme Souriau, s třemi nepěknými záhyby, vzniklými nedokonalostí Fourierovy reprezentace.
Následně se počet parametrických reprezentací zvýšil. Níže je reprezentace R. Bryanta:
Tato druhá objev, parametrizace pomocí eliptických měřítek, umožnila matematikovi Apérymu, žákovi matematika Bernarda Morina z Strasbourgu, vytvořit první reprezentaci povrchu v implicitní formě šestého stupně. (V jeho doktorské práci připisuje tuto vynález plastikovi Maxu Sauze, doktoru v oboru svařování stříbra):
f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0
Strašně složité.
Obraz povrchu Boye vytvořený pomocí implicitní reprezentace Apéryho s „eliptickými měřítky“ J.P.Petit
Na wikipedii na této stránce najdete animaci inspirovanou flip bookem, který najdete v Topologiconu (1988). Stejně tak pro polyedrickou reprezentaci povrchu (jiná vynález mého, také obsažená v albu), s zaoblenými hranami.
V roce 1988 matematik Brehm představil jinou polyedrickou reprezentaci s deseti stěnami a teorém ukazuje, že objekt nemůže mít méně než devět stěn...
O vkusu a barvě se nerozhoduje.
Vrátíme se k reprezentaci Apéryho, jediné známé implicitní reprezentaci. Proč je tento povrch tak nesouměrný (a proto i jeho rovnice tak složitá)?
Apéry, vedený Morinem, nevyužil tříčetnou symetrii objektu. Rovnice umístila osu OZ jako osu symetrie; to je chyba. Lepší výsledek by byl dosažen, kdyby se jako osa symetrie zvolil vektor (1, 1, 1). Tříčetná symetrie by pak dala rovnici invariantní vzhledem k prohození souřadnic x, y, z. Navíc, když se umístí počátek souřadnic do trojitého bodu a rozhodne se, že tři tečné roviny ke povrchu jsou hlavní roviny, odstraní se členy druhého, prvního a nulového stupně a člen třetího stupně se zjednoduší na
x y z
Tato symetrie je využita v povrchu objeveném v roce 1844 ve městě Řím, později nazývaném Římský povrch Steiner, jehož rovnice je:
Pohled na povrch:
Římský povrch Steiner
Také tvořený elipsami, je stejně jako ten předchozí jednostranný, tedy nekonzumovatelný:
Rodiny elips Římského povrchu
Římský povrch není „ani pravý, ani levý“, zatímco existují dvě verze povrchu Boye, enantiomorfní, zrcadlové. Jedna „pravá“ a jedna „levá“ Boye. V roce 2003 (jak rychle čas letí) jsem ukázal během semináře v katedře geometrie na fakultě Saint-Jérôme v Marseille, že lze převést pravou Boye na levou přes Římský povrch Steiner.
/legacy/věda/matematika_f/Crosscap_Boy1.htm
Autor přednáší na semináři z matematiky
Někteří čtenáři dobře ovládají grafické nástroje. Postupem podle uvedeného adresáře, digitalizací a interpolací je možné vytvořit animaci. Kdo by chtěl...?
Zábavné jsou ty animace. Tu jsem vytvořil pomocí mého vlastního CAD software Screen, který zobrazuje střední fázi obrácení krychle (jiná verze polyedrického modelu s čtyřmi ušima od Morina)
Střední fáze obrácení krychle
V tomto oboru by bylo možné udělat spoustu věcí. Chci jen ukázat cestu pro kandidáty na doktorskou práci z matematiky. Existuje implicitní reprezentace povrchu Boye, jejíž měřítka jsou elipsy a právě tato rovnice zazní v historii matematiky spolu s jménem toho, kdo ji odhalí z jejího obalu. Zbývá ji najít. Začátek: využít tříčetnou symetrii, jak je uvedeno výše.
Šťastnou loveckou cestu...
Tak tedy povrch Boye, který ozdoboval sál pí Paláce vědy, odjel do Belgie. Moc bych si přál, aby z něj vznikla obrovská, „procházecí“ socha vysoká dvacet metrů. To by aspoň mělo nějaký výraz. Ale ne, někteří plastici z bazarů naplnili toto místo sochami bez duše, bez struktury, bez jakékoli bohatosti.
Avšak nechtěl jsem si zachovat fotografii tohoto úžasného objektu. Pochopíte proč...
Novinky Průvodce (obsah) Domovská stránka
Obrázky