Problémy geodetik Problémy geodetik
Umíte zakreslit geodetiku na plochu pomocí lepicí pásky. Otázka: za jakých podmínek může geodetika zakreslená na kužel se překrývat?
Vyberte si bod na rotačním kuželi a spusťte geodetiku kolmo na jednu z jeho povrchových přímek: 
Zvažte symetrickou povrchovou přímku vzhledem k ose rotace tohoto kužele (každý kužel lze vždy deformovat na rotační kužel bez změny tvaru jeho geodetik). V případě obrázku nahoře bychom dostali následující výsledek, pokud bychom kužel rozvinuli do roviny:
Víme, že úhel řezu odpovídá množství úhlové křivosti soustředěné ve vrcholu kuželu. Geodetika se pak promění v přímku v rovině, protože plocha je rovinová.
Vidíme, že pro překrytí geodetiky je nutné, aby úhel řezu byl větší než 180°, tedy aby kužel byl dostatečně ostrý.
Při znovu sestavení našeho kužele získáme:
Mohou geodetiky kuželu "dosáhnout vrcholu"?
Jen povrchové přímky kuželu to mohou. Jakákoli geodetika zakreslená na kuželi, i když je velmi blízko vrcholu, se od něj vždy oddaluje, i když se zdá být "nakreslená tak, aby se přiblížila". Stačí spojit vrchol kuželu s bodem geodetiky nejblíže mu. Povrchová přímka pak tuto geodetiku protne pod pravým úhlem. Můžeme provést řez podél opačné geodetiky a rozvinout plochu do roviny.
I když je náš kužel velmi ostrý, získáme pouze postupné překryvy.
Mohou se geodetiky nekonečněkrát překrývat? Při rozvinutí kuželu vypadá to, jako by geodetika "odskakovala" od povrchové přímky spojující vrchol s bodem setkání.
Výše uvedený obrázek jasně ukazuje, že "odskok" posílá oba úseky povrchové přímky do směrů, které se již nikdy nepřekryjí. Pro více překryvů je potřeba velmi ostrý kužel.
Avšak s každým "odskokem" se úhel otevírá a nakonec zůstává uvězněn v úhlu 2p – q. Počet překryvů je konečný.
Povrchové přímky kuželu tvoří velmi speciální rodinu. Ale co je to vlastně kužel?
Můžeme uvažovat, že objekt "kužel" odpovídá obrázku vlevo. Geodetiky-povrchové přímky jsou pak polopřímky.
Ale můžeme také uvažovat, že kužel odpovídá objektu vpravo. V tom případě, co je geodetika? Pokud jde o nejkratší cestu spojující dva body, může se stát, že získáme situace jako tato:
Můžeme zvolit konstrukci kuželu, kde každá povrchová přímka pokračuje jako druhá povrchová přímka na druhé polovině kuželu a pouze jedna, tvořící spojitý celek. Můžeme si představit kuželové body v trojrozměrném prostoru (viz článek 11 v Geometrické fyzice A).
Další typy singulárních bodů.
Špičaté body jsou singulární body. Můžeme identifikovat i jiné. Například "kuželové body", kde se body zpětného ohýbání plochy "zvedají".
Vlevo: koule s kuželovým bodem. Vpravo: bod se zvednutím.
Kuželový bod vytváříme špičkou. Můžeme tedy označit změnu jako "vytvoření kuželového bodu" P a jeho inverzi P⁻¹.
Stejně tak vytvoření bodu se zvednutím odpovídá změně H. Ve skutečnosti vznik zvednutí následuje po vytvoření kuželového bodu. Je to kuželový bod, jehož vrcholový úhel se stal nulovým. Změna vedoucí k místnímu zvednutí plochy je tedy P H a její inverze: H⁻¹P⁻¹.
Existují i jiné způsoby změny plochy, například vytvořením dvojhranu. Vytvoření dvojhranu bude změna D. Tato změna může být provedena nezávisle na jiných změnách, za předpokladu, že se týká uzavřené dráhy (na regulární ploše). Nejjednodušší příklad je koule. Můžeme vytvořit "záhyb" podél rovníku, například. Při tomto záhybu bude přítomna "lineární křivost", téma již probírané v úvodu Geometrické fyziky A.
Pokud je tato změna na regulární ploše soustředěna na úsečku, každý konec této úsečky podstoupí změnu P.
Zvolme si kouli, "měkkou", deformovatelnou kouli. Vstoupme dovnitř s úsečkou, pevnou pravítkem a vtloukneme kouli. Konce pravítka začnou zasahovat do plochy. Efekt "špičky": vznikají dva kuželové body. Pokračujeme ve tlaku. Úsečka se dotýká koule, ale dvojhran ještě nevznikl. Pokud je úsečka na kontaktu s koulí, znamená to pouze, že na této kouli existuje přímá dráha AB. To však neznamená automaticky, že koule má záhyb. Můžeme to porovnat s montáží stanu pro kempování s dvěma sloupy. Uspořádáme sloupy
Efekt dvou změn P. Vznik dvou kuželových bodů A a B.
a poté napneme provaz, který je spojuje. Ale pokud je vnitřek stanu vyprázdněn, plášť se nebude zhroutit pod provazem a nevytvoří záhyb.
Napnutí provazu: plocha získá přímou úsečku AB. Ale pokud začne foukat vítr a stan je mírně nafouknutý, okolí úsečky může zachovat spojitost tečné roviny podél úsečky, což je viditelné z pohledu stanu pod jiným úhlem.
Pokud vítr přestane foukat, stěny stanu se zhroutí pod vlastní tíhou. Jakmile se pohyb začne, je spojitost tečné roviny porušena. Vzniká dvojhran. Změna D.
Na co to může být dobré?
Než přejdeme k praktickým aplikacím, musíme definovat další změnu. Představte si kužel: má kuželový bod, který soustřeďuje "úhlovou křivost". Pokud kuželový bod nenáleží k "pravému" kuželu, jeho stěna nemá žádnou křivost, plocha je v blízkosti kuželového bodu přibližně kuželová. To znamená, že v kuželovém bodě plochy existuje "tečný kužel".
Ale vraťme se k našemu kuželu. Bez problémů můžeme umístit vedle sebe dva kuželové body. Můžeme dokonce fyzicky vytvořit takovou plochu z dvou řezů v rovině:
Čáry vycházející z bodů A a B jsou pouze "švy" nebo "lepení". Můžeme je odstranit:
Můžeme spojit kuželové body, výsledkem bude "dvojkužel", který se změní na jednoduchý kužel, jehož vrchol obsahuje množství úhlové křivosti rovné součtu křivostí soustředěných v obou spojených kuželových bodech: q₁ + q₂.
Můžeme tedy zvážit novou změnu "spojení kuželových bodů":
ConfP
s její inverzí: (ConfP)⁻¹
Nyní vezměte kouli a vtloukněte do ní osm úseček. To vytvoří osm dvojhranů a šestnáct kuželových bodů. Můžeme spojit kuželové body po dvou a získat... krychli.
Nyní tedy víme, jak převést kouli na krychli a naopak. Stejně nám to pomůže vytvářet polyedrické reprezentace ploch. Nyní "nafoukněte" naši krychli, jako byla předtím plášť stanu:
Hrany zmizely. Dostaneme výsledek, který bychom získali, kdybychom vtloukli osm "kolíků" zevnitř koule a vytvořili osm kuželových bodů. Pokud by vnitřní rám udržoval odstup těchto osmi špiček, ale vnitřní tlak by byl dostatečný, mohli bychom zajistit, aby celá křivost byla soustředěna právě v těchto osmi kuželových bodech, tedy p/2 pro každý (pokud vyrobíte osm kuželů s každým množstvím křivosti p/2, můžete je složit do tohoto objektu). I když se plocha zdá být zakřivená, hustota křivosti je všude nulová: celá křivost je soustředěna v osmi kuželových bodech. Celkově získáme celkovou křivost koule, tedy 4p. Pokud teď zvýšíme nebo snížíme vnitřní tlak, naše krychle se změní, její stěny budou obsahovat křivost, ale tak, že součet bude stále roven celkové křivosti koule. Následující obrázek odpovídá "krychli v podtlaku".
Kuželové body pak obsahují křivost větší než p/2, ale vznik záporné křivosti na jiných místech tuto přebytečnost kompenzuje.
Druhá plocha by mohla být získána tak, že vezmeme kouli, umístíme na ni osm bodů tvořících osm vrcholů krychle "připojených zevnitř rámem". Pokud vytvoříme podtlak uvnitř této koule, objeví se kuželové body, plocha se přizpůsobí tak, aby zůstala spojitá hustota křivosti, aby součet křivostí, soustředěných nebo rozprostřených po ploše, byl stále 4p.
Výše jsme zmínili změnu "zvednutí" H, která převádí vrcholový úhel kuželového bodu na nulu:
Otázka: Jaké množství křivosti je soustředěno v "bodě se zvednutím"?
Víte, že čím více je kužel uzavřený a ostrý, tím větší je množství křivosti, které obsahuje. Spočítá se podle úhlové velikosti odstraněného sektoru při tvorbě tohoto "kuželu" (viz "Černá díra" v CD Lanturlu). Tato hodnota nemůže být větší než 2p. Množství úhlové křivosti obsažené v "bodě se zvednutím" je tedy 2p.
Další způsob výpočtu: umístěte úsečku do koule a rozšiřte ji.
Množství křivosti v každém kuželovém bodě se bude blížit 2p, zatímco množství zbylé křivosti v této nehezké kouli se bude blížit nule, aby celková křivost zůstala rovna 4p.
Na co nám tyto body se zvednutím budou dobré, kromě přeměny koule na hříbě?
Vytvořme dva body se zvednutím na kouli směřující k jejímu středu:
Právě před kontaktu dvou bodů se zvednutím obsahuje zbytek plochy koule nulovou celkovou křivost, protože každý z těchto bodů obsahuje 2p.
Když je kontakt navázán, získáme torus s "nulovou hrdlem".
Je třeba zvážit novou změnu "rozšíření hrdla" Eg a její inverzní transformaci: "zúžení hrdla" Eg⁻¹. 
Můžeme dále hrát s transformací P (tvorba kuželových bodů). Vytvořme dva kuželové body na kouli, předem převedené na frankfurtskou klobásu, a poté přiblížme tyto dva body k sobě.
Získáme tento zvláštní objekt:
Podle "restriktivní" definice geodetik v okolí kuželového bodu má tato plocha množinu nejednotných geodetik.
Můžeme pokračovat novou změnou, která by měla za následek otevření trubkového průchodu:
Další způsob přeměny koule na torus. Ve skutečnosti můžeme vše prozkoumat v této 2D džungli. Můžeme zvážit změny, které vytvářejí díry nebo je uzavírají. Plochy mohou být ohýbány, špičkovány, trhány, přehnuté, svařeny, zmačkané, nafukovány, zmenšovány, malované. Ale pouze matematický svět jim umožňuje se samo-procházet (imergovat). Nicméně se říká, že mrtví v den Soudného dne se probudí ve formě "slavných těl", která budou moci procházet cokoli, dokonce i jinými "slavnými těly", která se potkají na cestě. Už nebude nutné měnit chodník, když se potkáme: stačilo by se prostě proklouznout. Studium imergování tedy možná předznamenává studium metafyziky. V každém případě v dalším článku vám přebereme příběh o obrácení koule a toru.
Pokračování