Polyedrické znázornění špičatého bodu, výpočet jeho koncentrované křivosti.
Polyedrická znázornění různých ploch.
Permutace špičatých bodů Cross-cap.
Transformace „pravé“ Boyovy plochy na „levou“ Boyovu plochu prostřednictvím Steinerovy románské plochy.
„Pravá“ – „levá“ inverze Boyovy plochy.
Jean-Pierre Petit
Ředitel výzkumu na CNRS
1988–1999
Anotace:
Představujeme několik prvků umožňujících znázornění bodů koncentrované křivosti: „pozicony“, „negacony“ a jejich polyedrické ekvivalenty: „pozicoiny“ a „negacoiny“, které umožňují vytvářet polyedrická znázornění různých ploch a obnovit jejich celkovou křivost. Například polyedrické znázornění Steinerovy románské plochy se skládá ze čtyř přilehlých krychlí podél hran, což ji činí lépe pochopitelnou. Polyedrické znázornění Boyovy plochy bylo již uvedeno v Topologiconu (1985, vydavatelství Belin, strany 48 a 49) ve formě rozstříhání k vystavění. Na straně 46 byly rovněž uvedeny polyedrické znázornění toru a Kleinovy láhve. Jsou zde uvedena polyedrická znázornění Cross-cap. Celková křivost různých vnoření projektivní roviny do R3 – Boyova plocha, Cross-cap, Steinerova románská plocha – je rovna 2π. Polyedrické znázornění špičatých bodů, považovaných za body koncentrované křivosti, umožňuje jejich výpočet velmi jednoduše. Cross-cap, Steinerova románská plocha, Boyova plocha se projevují jako „mnoho tváří“ jediného objektu: projektivní roviny. Protože to není zřejmé na první pohled, vytváříme geometrické transformace umožňující přechod mezi nimi. Začínáme u Cross-cap a transformujeme ji do Steinerovy románské plochy přidáním dvou dalších špičatých bodů (tj. v tomto směru provádíme generickou změnu „vznik – zánik špičatých bodů“), poté transformujeme Steinerovu plochu do Boyovy plochy konvergencí párů špičatých bodů. Kromě toho, využitím skutečnosti, že standardní vnoření koule lze přeměnit na její antipodální vnoření (obrácení koule), ukazujeme, že dva špičaté body Cross-cap mohou být zaměněny posloupností vnoření, přičemž transformace ilustruje ekvivalenci těchto dvou bodů.
PŘEDMLUVA:
Čtenář najde zde obecné prvky, které jsou rovněž uvedeny v úvodu GEOMETRICKÉ FYZIKY A (definice pozicon, negacon atd.). Pokud chce tento odstavec přeskočit, stačí kliknout sem.
Pokud na rovině narýsujeme trojúhelník složený ze tří úseček přímek, součet úhlů v vrcholech je roven π. Tyto přímky na rovině lze získat jinak: lepením pásků libovolného lepicího pásu na povrch bez ohýbání. Takové dráhy na rovině nazýváme geodetiky. Geodetiky můžeme nakreslit na jakýkoli povrch tímto způsobem, například na křídlo automobilu nebo na kapotu.
Obrázek 1: Trojúhelník považovaný jako soubor tří geodetik roviny
POZICONY A NEGACONY
Uděláme řez v rovině a slepíme oba okraje, poté narýsujeme trojúhelník pomocí lepicího pásu složeného ze tří geodetik tohoto kužele.
Obrázek 2: Vytvoření poziconu.
Když oddělíme oba okraje povrchu podle předchozího řezu (obrázek 3), můžeme snadno zjistit pomocí úhloměru, že součet úhlů A, B a C je roven π plus úhel řezu α. Tento odchyl vzhledem k eukleidovskému součtu nazýváme křivost a říkáme, že trojúhelník „obsahuje“ určitou množství úhlové křivosti α. Tento odchyl bude stejný pro jakýkoli trojúhelník obsahující vrchol kužele. Pokud neobsahuje, bude součet roven π. Řekneme, že křivost je koncentrována ve vrcholu M kužele, který je tedy „bodem koncentrované křivosti“. Protože součet úhlů přesahuje eukleidovský součet, řekneme, že tato křivost je kladná. Z tohoto pohledu by rovina měla být plocha s nulovou křivostí.
Obrázek 3: Rozvinutý pozicon.
Tato křivost je aditivní. Pokud slepíte spolu několik takových kuželů odpovídajících úhlům α, β, γ, můžete nakreslit různé trojúhelníky složené z geodetických oblouků. Pokud trojúhelník obsahuje tři body odpovídající koncentrovaným křivostem rovným α, β, γ, bude součet jeho úhlů v vrcholech roven:
π + α + β + γ
Plochu s kladnou křivostí můžeme považovat za kouli složenou z nekonečného počtu „pozicon“. Místo koncentrované křivosti v různých bodech budeme mít rovnoměrně rozloženou křivost na celém povrchu. Řekneme, že koule je plocha „s konstantní křivostí“ (nebo s „konstantní hustotou úhlové křivosti“).
Obrázek 4: Trojúhelník tvořený třemi geodetickými oblouky.
Na kouli jsou geodetiky „velké kružnice“. Rovník a poledníky jsou velké kružnice, což jsou geodetické oblouky koule. Ale nepodaří se vám vytvořit rovnoběžku pomocí lepicího pásu. Rovnoběžky nejsou geodetikami koule. Součet úhlů v vrcholech trojúhelníku nakresleného na kouli závisí na poměru mezi obsahem trojúhelníku a obsahem koule. Součet úhlů velmi malého trojúhelníku bude velmi blízký π.
Trojúhelník, jehož obsah je osmina povrchu koule, bude mít součet A + B + C = 2π.
Velká kružnice na kouli může být považována za „trojúhelník“, pokud umístíme tři vrcholy… kdekoliv na této kružnici. Součet A + B + C bude roven 3π. Obsahuje polovinu povrchu koule.
Jaký je maximální odchyl? Nelze říci „zvětšujte“ trojúhelník přesahem této velké kružnice, protože za ní se délka geodetických oblouků tvořících jeho strany zkracuje a dokonce blíží nule.
Když obklopíte celý povrch koule, dostaneme A + B + C = 5π = π + 4π.
Řekneme, že celková křivost koule je rovna 4π.
Obrázek 5: Součet úhlů. Trojúhelník tvořený geodetickými oblouky koule.
Množství křivosti obsažené v trojúhelníku odpovídá jednoduché trojčlenné pravidlu:
Nyní vytvoříme „negacon“, tentokrát vložením úhlového sektoru α do roviny, jak ukazuje obrázek 6.
Obrázek 6: „Negacon“
Když odstraníme úhlový sektor, dostaneme toto:
Obrázek 7: Rozvinutý negacon.
Součet úhlů trojúhelníku je A + B + C = π – α.
Řekneme, že tato plocha je negacon s „bodem koncentrované záporné křivosti“. Tato křivost je také aditivní. Sestavením plochy z přilehlých malých poziconů a malých negaconů můžeme vytvořit plochu, kde lokální hodnota křivosti bude libovolná.
Obrázek 7 je plocha s rozloženou zápornou křivostí. Řekneme také, že tato plocha má v každém bodě „hustotu křivosti“ (úhlovou). Odchyl (záporný) od eukleidovské hodnoty součtu úhlů závisí zde také na obsahu trojúhelníku. Čím menší je tento obsah, tím blíže bude součet úhlů hodnotě π.
Obrázek 7: Plocha s negativní hustotou křivosti (úhlovou).
Obrázek 8 ukazuje příklad přilehlých tří oblastí s kladnou, zápornou a nulovou hustotou křivosti.
Obrázek 8: Plocha s proměnlivou hustotou křivosti. Nulová v rovinné části, kladná v kulové části, záporná v přechodu (šedivá).
Pokud nakreslíme geodetiky, dostaneme toto:
Obrázek 9: Rovinné znázornění s geodetikami.
V uvedeném příkladu množství křivosti obsažené v kulové části je rovno a opačné té, která je v přechodu (předpokládáme, že tečná rovina se spojitě mění). Důkaz uvádí obrázek 10 níže:
Obrázek 10: Geodetické trojúhelníky nakreslené v rovinné části obsahují celou křivost, kterou mají. Protože součet tří úhlů je roven π, jsou vepsány do eukleidovské plochy (rovině). Důsledkem je, že „integrované křivosti“ obsažené v kulové části a ve šedé části přechodu jsou rovny a opačné.
Některé plochy, jako válec, nám připadají mít určitou křivost. Ale pokud na něm nakreslíte trojúhelník pomocí geodetických oblouků a poté válec rozevřete (stejně jako pozicony a negacony je válec „rovinový“), zjistíte, že součet je 180°. Vzhledem k této definici křivosti je válec „rovinný“.
Obrázek 11: Válec, na kterém byl nakreslen geodetický trojúhelník a jeho rovinné rozvinutí.
Žádný záhyb nezpůsobuje efekt křivosti, což můžete ověřit i s vaším lepicím páskem.
Obrázek 12: Geodetika přecházející přes záhyb. Záhyb nemění jeho rovinné rozvinutí:
Neobsahuje žádnou křivost.
POZICOINY A NEGACOINY.
„Kouty“ jsou body koncentrace křivosti. Hrany neobsahují žádnou křivost. Obrázky 6 a 7 ukazují, jak vytvořit pozicoyn odpovídající koncentrované křivosti +π/2 a negacoyn odpovídající koncentrované křivosti –π/2.
Obrázek 13: Vytvoření pozicoynu +π/2
Obrázek 14: Vytvoření pozicoynu +π/4
Obrázek 15: Vytvoření negacoynu –π/2.
Pomocí osmi pozicoynů můžeme vytvořit krychli, která je jedním z polyedrických znázornění koule.
Obrázek 15: Krychle jako polyedrické znázornění koule
Obnovíme celkovou křivost koule:
4π
Pomocí osmi pozicoynů a osmi negacoynů můžeme vytvořit polyedrické znázornění toru a obnovit jeho celkovou křivost: nula.
Obrázek 16: Polyedrické znázornění toru.
ŠPIČATÉ BODY
Cross-cap je jednou z mnoha tváří, které projektivní rovina nabývá v R3. Nelze ji tam vložit. Cross-cap má soubor samoprůniků ve tvaru úsečky, jejíž konce odpovídají tzv. špičatým bodům.
Obrázky 17, 18 a 19 ukazují, jak lze vytvořit špičatý bod v oblastech s kladnou, zápornou nebo nulovou křivostí.
Obrázek 17: Vytvoření špičatého bodu v oblasti s kladnou křivostí.
Obrázek 18: Vytvoření špičatého bodu v oblasti se zápornou křivostí.
Obrázek 19: Vytvoření špičatého bodu v oblasti s nulovou křivostí (válec).
Obrázek 20 ukazuje polyedrické znázornění špičatého bodu, které budeme používat dále.
Obrázek 20: Polyedrické znázornění špičatého bodu
CROSS-CAP
Obrázky 21a a 22b jsou dvě jednoduchá polyedrická znázornění Cross-cap.
Obrázek 21a a 21b: Polyedrická znázornění Cross-cap.
Víme, že celková křivost Cross-cap je rovna 2π. Jak ji zjistit z polyedrického znázornění?
Obrázek 22 umožňuje vypočítat koncentrovanou křivost v špičatém bodě, jak je znázorněn na obrázku 20.
Obrázek 22: Koncentrovaná křivost v špičatém bodě.
Cesta obsahuje šest pravých úhlů. Zlomky 2, 5, 7 a 10 probíhají podél hran a neobsahují žádnou křivost. Cesta 1–2–3 probíhá podél geodetiky povrchu. Koncentrovaná křivost v tomto speciálním špičatém bodě, kde se plochy protínají pod pravými úhly, je rovna –π. Pokud se nyní podíváme na obrázek 21a a sečteme křivosti, získáme –2π. Skutečně:
Dvanáct pozicoynů +π/2
Čtyři negacoyny –π/2
Dva špičaté body –π
Celkem 2π
Obrázky 21a a 21b ukazují identitu dvou špičatých bodů C1 a C2.
Obrázek 23: Sestavení dvou polyedrických Cross-cap.
Obrázek 24: Dokončené sestavení.
Po všem tomto jsme schopni dobře pochopit geometrickou strukturu Cross-cap.
Obrázek 25: Cross-cap a sestavení jejích dvou špičatých bodů. Bod C1 byl vytvořen v oblasti s lokální kladnou křivostí (nebo hustotou úhlové křivosti) (viz obrázek 16), bod C2 v oblasti se zápornou lokální křivostí (viz obrázek 17).
Stejné, bez těchto detailů:
Obrázek 14: Cross-cap a její dva špičaté body.
PERMUTACE ŠPIČATÝCH BODŮ CROSS-CAP
Mezi těmito dvěma body existuje symetrie, která není na první pohled zřejmá.
Poznámka:
Na malou historii: Tento problém jsem si položil po účasti na konferenci o lacanovské psychanalýze v Aix-en-Provence, na pozvání organizátorského výboru. Ptáte se, co dělá psychanalýza Lacana v přednášce o geometrii? Lacan, který je nyní mrtvý, ve své době vypracoval poměrně neproniknutelné teorie o struktuře našeho myslení, která podle něj byla organizována kolem „malého objektu a“, skutečného „organizačního centra jazyka“. Pro Lacana je vše jazyk (odtud jeho slavná věta: „sexuální akt neexistuje“). Nyní, když je mrtvý, jeho slova trochu ztrácejí. Ale za jeho života jeho přednášky na École Normale Supérieure vyvolávaly velký zájem v celém Paříži. Slavné osobnosti z kinematografie rády chodily poslouchat jeho názory. Sbohem se snažili poslechnout jeho záhadné projevy. Jedna z jeho studentek, Jeanne Granier-Deferre, by mohla být považována za jednu z jeho oddaných (lacanismus byl téměř strukturován jako sekta, jejíž vůdce byl Lacan – který si dokonce převlékal jeho oblečení, viz některé televizní dokumenty), vydala knihu nazývanou „topologie podle Jacques Lacana“ (...). Lacan hledal jednostrannou plochu k modelování geometricko-jazykové struktury naší „duše“. Proč jednostrannou? Aby vyjádřil to, co nazýval enantiomérii, dvojznačnost.
Myšlenka není hloupá. Důkaz je v slavné větě Lacana:
Muž je muž.
kde pět znaků slova „muž“ nemá ve dvou částech věty stejný význam. Vlevo se slovo „muž“ odkazuje na muže druhu člověka. Vpravo: slovo odkazuje na jeho kulturní atributy (mužnost, chování atd.). Podle Lacana by náš jazyk bez ustání používal dvojznačnost v dualitě
signifikant – signifikát
, což není hloupé. Mohli bychom se rozepsat o myšlenkách zemřelého Jacquesa, ale to by nás přivedlo příliš daleko. Věnuji tomu samostatný soubor, který pravděpodobně nazvu: „JPP u Jacques Lacana“, plný chutných anekdot. Vskutku, když vyšel v roce 1979 náš článek o obrácení koule v časopise Pour la Science (leden), okamžitě se obrátil na slepého Morina, spoluautora, který byl alergický na psychanalýzu (a na mnoho dalších věcí), a ten ho poslal do prdele. Z zvědavosti jsem se přišel podívat na Lacana na ulici de Lille v Paříži, tedy do svatyně sekty. Příběh těchto setkání bude uveden v budoucím souboru.
Že by Lacan zvolil jednostrannost k modelování jazyka, dobře. Například, pokud vezmete slovo „MOT“ a uvažujete o jeho zrcadlovém obrazu, jeho enantiomorfním obrazu, dostanete „TOM“, což nemá nic společného. Ale věci se komplikují s „tím malým objektem a“ (podle Lacana „lingvistický penis“). Celý jazyk muže by byl organizován kolem něj. Odtud další slavná věta Lacana:
Muž není mluvící jedinec, ale mluvený jedinec.
Podle Lacana je muž pouze stroj pro sekreci jazyka, dokonce i při sexuálním styku, i když mlčí (ticho samozřejmě zcela tvořené nesloženými výrazy: pro Lacana neexistuje ani ticho...). Shrňme, muž jenom putuje po „jednostranném jazykovém povrchu“, mezi signifikanty a signifikáty, řečenými a nesloženými. V centru tohoto geometricko-jazykového objektu je objekt a, bod
možného k přemýšlení, ale nemožného k popisu
: Boh, nebo „otec“, možná, kdo ví. Uznávám, že jsem to nikdy dobře nepochopil. Ale po smrti Lacana psychanalýzy Lacanovské, zjevně zmatené ztrátou svého vůdce, uspořádaly v dubnu 1978 konferenci v Aix-en-Provence a pozvaly mě jako „odborníka – geometra“. Předem mi předali knihu paní Granier-Deferre, „Topologie podle Jacques Lacana“. Lacan si vybral střední špičatý bod Cross-cap (jedinou jednostrannou plochu, kterou znal) k umístění svého „malého objektu a“ a zasadil tam svůj „lingvistický penis“. Hned jsem si představil transformaci umožňující „otcovať“ dva špičaté body. Bylo to jedním z témat mého přednášky, která způsobila úplný zmatek v sekty (vzhledem k tomu, že těchto 400 účastníků bylo v psychoanalytickém stavu, jsem jenom zhoršil situaci). Tato Cross-cap, přejmenovaná Lacanem na „základní fantazii“, měla tak dva lingvistické penisy místo jednoho. Pak jsem se pokusil situaci zachránit tím, že jsem z krabice vytáhl Boyovu plochu, rovněž jednostrannou, a navrhl těm Lacanovcům, aby tam zasadili jejich „lingvistický penis“ na jediný pól. Podrobnosti a pokračování této záležitosti budou uvedeny v budoucím souboru „JPP u Lacana“.
Zavřením této poznámky popíšeme transformaci, kterou jsem tehdy vynalezl, zaměňující dva špičaté body. Anekdoticky, abych byl lépe pochopen před svým publikem, vysvětlil jsem, že operace invaginace špičatého bodu C1 připomíná „vaginální dotyk u samice kenguru“. Skutečně, protože kengurům chybí placentární vývoj, Falopiovy trubice samice ústí přímo do pohlavního ústrojí bez dělohy, pokud se nemýlím. Viz obrázek 19a a 19b.
Pro provedení této transformace nejprve nafoukneme objekt tak, aby se oba špičaté body a úsečka samoprůniku shromaždily v jedné oblasti koule. Víme, že můžeme obrátit kouli. První verze byla představena Anthony Phillipsem v roce 1967. Později matematik Bernard Morin vynalezl druhou verzi a publikoval ji v roce 1979 ve CRAS (ilustrováno autorem).
Obrázek 15a a 15b: Před a po obrácení koule.
Špičatý bod C1 je nyní „uvnitř koule“. Stačí deformovat objekt podle obrázků, abyste získali výsledek podobný obrázku 15a. Ale špičaté body jsou nyní zaměněny.
Obrázky 16a a 16b: Začátek deformace objektu.
Obrázek 17a a 17b: Poslední krok transformace.
TRANSFORMACE CROSS-CAP NA BOYOVU PLOCHU PŘES STEINEROVU ROMÁNSKOU PLOCHU
Znovu zvažme Cross-cap. Obrázek 18b znázorňuje plochu „z profilu“. Můžeme tedy stisknout okolí úsečky samoprůniku mezi dvěma prsty, jak ukazuje obrázek
Obrázek 18a a 18b.
Obrázek 19a a 19b.
Špičatý bod C2 prochází „dolní částí“ Cross-cap a objevuje se „na druhé straně“. Během toho vzniká trojný bod T, viditelný na pohledu 20a. Na obrázku 20b je znázorněno okolí tohoto trojného bodu.
Obrázek 20a a 20b
Podrobněji popíšeme tento meziprodukt transformace. Stále máme úsečku C1C2 jako prvek souboru samoprůniku. Ale předchozí pohyb vytvořil osm tvarovou křivku, která je také součástí tohoto souboru a prochází trojným bodem T.
Obrázek 21: Meziprodukt
Obrázek 22: Meziprodukt a soubor samoprůniku
Obrázek 22 ukazuje jiný pohled na tento meziprodukt a soubor samoprůniku. Nyní budeme stiskat povrch podle černých šipek uvedených na obrázku 23.
Obrázek 23: Stisknutí v meziproduktu.
Zánik trubkových přechodů způsobí vznik dvou nových párů špičatých bodů (C4, C6) a (C5, C4). Tento objekt je jinak Steinerova románská plocha.
Obrázek 24: Vznik dvou párů špičatých bodů:
C3, C4, C5, C6
Obrázky 25a a 25b jsou známější pohledy na Steinerovu plochu, zatímco obrázek 26 je její polyedrické znázornění.
Obrázky 25a a 25b: Steinerova románská plocha
Obrázek 26: Polyedrické znázornění Steinerovy plochy.
Obrázek 27 je jiný pohled na toto polyedrické znázornění, který ukazuje, že se skládá ze čtyř přilehlých krychlí. Soubor samoprůniku se skládá ze tří úseček přímek, které se protínají v trojnému bodě T. Na koncích každé z těchto úseček se nachází špičatý bod.
Obrázek 27: Detail tohoto polyedrického znázornění a soubor samoprůniku.
Nyní je možné přejít k Boyově ploše. Pro tento účel budeme konvergovat špičaté body po dvojicích. Je to opačná operace, kterou jsme použili při přechodu z obrázku 23 do obrázku 24. Na obrázku 28a je znázorněn pořadí, v jakém probíhá konvergence špičatých bodů.
Obrázky 28a a 28b: Konvergence špičatých bodů
Na obrázku 28b již dva špičaté body sloučily. Operace je dokončena na obrázcích 29a a 19b, kde poznáme vnoření projektivní roviny, Boyovu plochu.
Obrázky 29a a 29b: Dva pohledy na Boyovu plochu. Na obrázku 29b byla část plochy odstraněna, aby byl viditelný trojný bod.
Poslední poznámka. Pokud místo konvergence bodů:
C1 s C4, C3 s C5, C2 s C6
bychom konvergovali body:
C1 s C5, C2 s C3, C4 s C6
dostali bychom zrcadlový obraz Boyovy plochy. Takže meziprodukt, který je Steinerova plocha, umožňuje transformaci „pravé“ Boyovy plochy na „levou“ Boyovu plochu, tedy její enantiomorfní obraz.