Vrátíme se k této třídě homotopií pohodlných vložení toru do R3. Jednoduše spojíme dva objekty znázorněné pomocí transformace „C“. Vezmeme torus a „proškrtneme“ jej někde, vytvoříme tak čáru dvojnásobných bodů, což je kruh:
Napsal jsem „dvě barvy“: šedá pro vnější stranu toru, bílá pro vnitřní. Proškrtnutí výše (což vede k jedné z nekonečného počtu možných vložení „standardního toru“) tedy způsobí objevení bílé části povrchu.
Pozorujme tento objekt z bodu ležícího na ose toru:
Nahoru, část vnitřku (bílá) toru, která se objevila díky proškrtnutí. Můžeme tedy provést „transformaci C“ a vytvořit dva kuželové body.
Na bod označený šipkou „zúžíme“ průchod. Tato operace vytvoří dva kuželové body C1 a C2:
které můžeme přesunout následovně:
Zbývá provést transformaci C-1 (spojení dvou kuželových bodů):
Získáme tak objekt:
Toto vložení toru je homotopní standardnímu toru.
Vidíme, že tato operace „C“ a její inverzní „C-1“, které rozšiřují svět vložení na svět posunutí ploch v R3, umožňuje dělat zajímavé věci. Můžeme sestrojit celou množinu posunutí klasických ploch (koule, projektivní rovina, torus a Kleinova láhev). Kolik tato množina má tříd?
Viděli jsme, že koule a projektivní rovina patřily tehdy do jedné třídy (stejně jako pravá a levá Boyova plocha). Kolik tříd posunutí má torus? Myslím, že tento problém zatím není vyřešen. Můžeme přejít z jedné třídy vložení toru do jiné pomocí operací C, nebo ne? Intuitivně bych řekl, že ne, ale jedná se jen o
předpoklad.
Konstrukce nemůže dokázat nemožnost, ale může ilustrovat možnost. Pokud někdo najde konstrukce, které umožňují přeskočit z jedné třídy do druhé, bude teorém de facto dokázán, ale skutečnost, že konstrukce nebyly nalezeny, sama o sobě není důkazem. Nedostatek důkazu není důkazem nedostatku. Říct, že existují čtyři třídy posunutí toru v R3, nebo říct, že existuje jen jedna, jsou
předpoklady
, jen jednoduché víry, v současnosti.
Zajímavé je, že Smale dokázal, že obrácení koule je možné, předtím, než Phillips předložil první konstrukci. Může to být i naopak. Kdo by měl nápad začít takovou věc, která jde proti naší geometrické intuici?
Transformace C umožňuje převést kouli na Cross cap, pak na Boyovu plochu, prostřednictvím Romainovy plochy Steiner. Viz článek. Může převést torus na Kleinovu láhev? Logicky ano, ale nemám připravenou odpověď na tuto otázku.
Zajímavě, proč mluvíme o „projektivní rovině“? Objekty (jednostranné) jsou konečné. Odpověď od Souriau:
- Na rovině máme „přímku nekonečna“. Jednoduše přilepíme tuto rovinu podél přímky nekonečna.
Tato přímka, jak se očekává, je uzavřená křivka.
V Topologiconu najdete malý animovaný „feuilletable“, který ukazuje, jak se Môbiusův pás s třemi poloturny může změnit na Boyovu plochu. Poslední obrázek ukazuje tuto plochu, minus kruh. Stačí přidat ten kruh, abychom dokončili plochu. Boyova plocha je tedy Môbiusův pás plus kruh. Cvičení: pomocí nástrojů z Topologiconu vypočítejte pak její Eulerovu-Poincarého charakteristiku (její hodnota je 1).
Naopak, mohli bychom začít s kruhem a nechat ho rostou, při tom se samo-proškrtnout, až se přilepí na Môbiusův pás s třemi poloturny, což je jiná konstrukce.
Nalezl jsem obrázky ve své komunikaci o 55 stranách, kterou jsem přednesl na konferenci o psychanalýze Lacanově v Aix-en-Provence (4. a 5. dubna 1987), věnované „Pervozím“, a která je uvedena v zápisech vydaných organizátory. Použiji tento text v budoucím dokumentu nazvaném „JPP u Lacana“.
První obrázek: kruh, který se zkroucením.
Níže, začátek vytváření množiny samoprůniku:
Následující obrázek: objevení trojného bodu:
Přestávám s výplní, protože plocha se blíží k jednostrannosti.
Níže, plocha je připravena se přilepit na sebe podél okraje.
Tam je znázorněn Môbiusův pás s třemi poloturny, dokončující plochu:
Následující obrázek: tentýž pás.
Poté Boyova plocha, plně vytvořená. Nelze říct, že „vidíme její spodní stranu“, protože Boyova plocha nemá ani konec ani začátek. Řekněme, že jak se ukazuje, vidíme její trojný bod.
Níže, její množina samoprůniku:
Takže jste viděli, jak se rovina skládá na svou „přímku nekonečna“. Odtud její název: „projektivní rovina“, poněkud zvláštní, na první pohled. Možná poprvé, kdy lidé vidí nekonečno tak blízko.
Tyto obrázky byly vytvořeny před dobrými dvěma desetiletími a tento internetový web, nebo tento CD, konečně nabízí možnost je ukázat. Čtenář se možná zeptá, proč se neobjevily ve „Vědě“ nebo „Výzkumu“. Nebylo to kvůli nedostatku odeslaných článků, ale redakce nepovažovala téma za zajímavé.
Doufám, že s touto „geometrickou nástrojovou krabičkou“ se rychle rozhodnete vymýšlet mnoho nových ploch. Zde je jedna, vymyšlená paní Ivars. Vezměte kouli a zatlačte do dvou opačných směrů dva úseky stejné délky, až se dotknou, představte si, že jsou svařeny na dvě tyče, takto:
Když úseky dosáhnou kontaktu, „operace se provádí“. Měli jsme křížení ploch podél úseku a dva kuželové body na každém konci. Níže, tato plocha, v řezu.
Táž plocha, v perspektivě:
Pro nástroje na výrobu ploch, „potrubní prvek“:
Když vstupuje kapalina do otvoru, sloužící jako vstup, vystupuje ven z výstupního potrubí. Ale můžeme použít výstup jako vstup. Efekt je stejný. Objekt je druh geometrického operátoru, který převádí vnější na vnitřní.
Zavřením tohoto „přechodu“ na sebe sama získáme Kleinovu láhev:
Ale zde je jiná konstrukce:
Táž, v perspektivě:
Plocha je nyní dvoustranná. Jaká je to plocha?
Prostřednictvím pravidelné homotopie, posloupnosti spojitých vložení, přeměníme ji na toto:
Uznáváte krabici s uchycením, kterou lze otevřít jen zevnitř. Můžeme pak objekt změnit. Stačí provléct šňůru otvorem a táhnout k sobě:
Výsledek je:
To je torus.
Teď je na vás, abyste se vypořádali s následující konstrukcí:
vyrobenou pomocí tří těchto „přechodů“.
Uvidíme, v jiném článku, užitečnost těchto „přechodů“ v případě obrácení koule.