Problémy geodetik.
Umíte zakreslit geodetiku na plochu pomocí lepicí pásky. Otázka: za jakých podmínek může geodetika zakreslená na kužel překrývat sama sebe?
Vyberme bod na rotačním kuželu a spusťme geodetiku kolmo na jednu z jeho povrchových přímek:
Zvažme symetrickou povrchovou přímku vzhledem k ose rotace tohoto kuželu (každý kužel lze vždy deformovat na rotační kužel bez změny tvaru jeho geodetik). V případě obrázku nahoře bychom získali následující výsledek, kdybychom kužel rozložili do roviny:
Víme, že úhel řezu pak odpovídá množství úhlové křivosti soustředěné ve vrcholu kuželu. Geodetika se pak promění v přímku v rovině, protože plocha je rozvinutelná.
Vidíme, že geodetika může překrývat sama sebe pouze tehdy, když je úhel řezu větší než 180°, tedy když je kužel dostatečně ostrý.
Znovu sestavením našeho kuželu získáme:
Může geodetika kuželu „dosáhnout vrcholu“?
To mohou provést pouze povrchové přímky kuželu. Jakoukoli geodetiku zakreslenou na kuželu, i když je velmi blízko vrcholu, se od něj vždy oddálí, i kdyby se zdálo, že by měla směřovat k němu. Stačí spojit vrchol kuželu s bodem nejblíže geodetice. Povrchová přímka pak protne geodetiku kolmo. Můžeme provést řez podél opačné geodetiky a rozložit plochu do roviny.
I když je kužel velmi ostrý, získáme pouze postupné překryvy.
Může se geodetika nekonečněkrát překrývat? Při rozvinutí kuželu se zdá, že geodetika „odskakuje“ od povrchové přímky spojující vrchol s bodem setkání.
Na obrázku výše je zřejmé, že „odskok“ posune obě části povrchové přímky do směrů, které se již nikdy nepřekryjí. Pro více překryvů je potřeba velmi ostrý kužel.
Avšak s každým „odskokem“ se úhel rozšiřuje a nakonec zůstane uvězněný v úhlu 2π – q. Počet překryvů je tedy konečný.
Povrchové přímky kuželu tvoří velmi speciální rodinu. Ale co rozumíme pod pojmem „kužel“?
Můžeme uvažovat, že objekt „kužel“ odpovídá obrázku vlevo. Geodetiky-povrchové přímky jsou pak polopřímky.
Ale můžeme také uvažovat, že kužel odpovídá objektu vpravo. V tomto případě, co rozumíme geodetikou? Pokud jde o nejkratší cestu spojující dva body, může se stát, že získáme situace jako tato:
Můžeme si zvolit konstrukci kuželu, kde každá povrchová přímka pokračuje jako druhá povrchová přímka na druhé polovině kuželu a pouze jedna, tvoří tak spojitou množinu. Můžeme si představit kuželové body v trojrozměrném prostoru (viz článek 11 v Geometrické fyzice A).
Další typy singulárních bodů.
Špičaté body jsou singulární body. Můžeme identifikovat i jiné. Například „kuželové body“, kde se body zvrácení plochy, „body srstění“.
Vlevo: koule s kuželovým bodem. Vpravo: bod srstění.
Kuželový bod vytvoříme špičkou. Můžeme tedy nazvat změnu „tvorba kuželového bodu“ P a její inverzi P⁻¹.
Stejně tak tvorba bodu srstění odpovídá změně H. Ve skutečnosti tvorba srstění následuje tvorbu kuželového bodu. Je to kuželový bod, jehož vrcholový úhel se stal nulovým. Změna vedoucí k místnímu srstění plochy je tedy P H a její inverze: H⁻¹P⁻¹.
Existují i jiné způsoby změny plochy, například vytvořením dvojhranu. Vytvoření dvojhranu bude změna D. Tato změna může být provedena samostatně, za předpokladu, že se týká uzavřené dráhy (na regulární ploše). Nejjednodušší příklad je koule. Můžeme například vytvořit „záhyb“ podél rovníku. Při tomto záhybu bude přítomna „lineární křivost“, téma již probírané v úvodu Geometrické fyziky A.
Pokud je tato změna na regulární ploše zaměřena na úsek, každý konec tohoto úseku podstoupí změnu P.
Vezměme kouli, „měkkou“, deformovatelnou kouli. Vstoupme dovnitř s úsečkou, pevnou pravítkem a vtloukněme kouli. Konce pravítka začnou kontaktovat plochu. Efekt „špičky“: objeví se dva kuželové body. Pokračujeme ve tlačení. Úsek se dotýká koule, ale dvojhran ještě nevznikl. Pokud je úsek v kontaktu s koulí, znamená to pouze, že na této kouli existuje přímá cesta AB. To však neznamená automaticky, že koule má záhyb. Můžeme to porovnat s montáží stanu pro kempování se dvěma sloupy. Nastavíme sloupy
Efekt dvou změn P. Vytvoření dvou kuželových bodů A a B.
a poté napneme provaz, který je spojuje. Ale pokud je vnitřek stanu pod tlakem, plášť se nebude zvětšovat pod provazem a nevytvoří se záhyb.
Napínání provazu: plocha získá přímý úsek AB. Ale pokud začne foukat vítr a stan je mírně přetlakový, okolí úseku může zachovat spojitost tečné roviny podél úseku, což se projeví vzhledem stanu pod jiným úhlem.
Pokud vítr ustane, stěny stanu se zhroutí pod vlastní tíhou. Jakmile se pohyb začne, spojitost tečné roviny je porušena. Dvojhran se objeví. Změna D.
Na co to může být dobré?
Než přejdeme k praktickým aplikacím, musíme definovat další změnu. Představte si kužel: má kuželový bod, který soustřeďuje „úhlovou křivost“. Pokud kuželový bod nepatří do „skutečného“ kuželu, jeho stěna nemá žádnou křivost, je plocha přibližně kuželová v malé vzdálenosti od kuželového bodu. To znamená, že v kuželovém bodě plochy existuje „tečný kužel“.
Ale vraťme se k našemu kuželu. Bez problémů můžeme umístit vedle sebe dva kuželové body. Můžeme dokonce fyzicky vytvořit takovou plochu z dvou řezů v rovině:
Čáry vycházející z bodů A a B jsou pouze „švy“ nebo „lepení“. Můžeme je odstranit:
Můžeme spojit kuželové body, případně tento „dvojkužel“ se změní na jeden kužel, jehož vrchol bude obsahovat množství úhlové křivosti rovné součtu křivostí v obou spojených kuželových bodech.
q₁ + q₂
Můžeme tedy zvážit novou změnu „splynutí kuželových bodů“:
Conf
S její inverzí:
(ConfP)⁻¹
Teď vezměme kouli a vtloukněme do ní osm úseků. Vytvoří se osm dvojhranů a šestnáct kuželových bodů. Můžeme pak spojit kuželové body po dvou a získat… krychli.
Nyní tedy víme, jak převést kouli na krychli a naopak. Stejně nám to pomůže vytvářet polyedrické reprezentace ploch. Nyní „nafoukneme“ naši krychli, stejně jako plášť stanu předtím:
Hrany zmizely. Dostaneme výsledek, který bychom získali, kdybychom vtloukli osm „kolíků“ zevnitř koule a vytvořili osm kuželových bodů. Pokud by vnitřní rámeček udržoval vzdálenost těchto osmi špiček, ale vnitřní tlak by byl dostatečný, mohli bychom zajistit, aby celá křivost byla soustředěna ve těchto osmi kuželových bodech, tedy p/2 pro každý (pokud vyrobíte osm kuželů s každým množstvím křivosti rovným p/2, můžete je složit do tohoto objektu). I když se na dotyku zdá, že plocha je zakřivená, hustota křivosti je všude nulová: celá křivost je soustředěna ve třech osmi kuželových bodech. Celkově získáme celkovou křivost koule, tedy 4p. Pokud v této chvíli zvýšíme nebo snížíme vnitřní tlak, naše krychle se změní, její stěny budou nyní obsahovat křivost, ale tak, že součet bude stále roven celkové křivosti koule. Následující obrázek odpovídá „krychli ve stavu podtlaku“.
Kuželové body pak obsahují křivost větší než p/2, ale objevení záporné křivosti jinde kompenzuje tento přebytek.
Druhá plocha by mohla být získána tak, že vezmeme kouli a na ní umístíme osm bodů tvořících osm vrcholů krychle „připevněných uvnitř rámem“. Při vytvoření podtlaku uvnitř této koule se objeví kuželové body, plocha se přizpůsobí, zároveň zachovává spojitý rozložení hustoty křivosti, aby součet křivostí, soustředěných nebo rozprostřených po ploše, byl stále 4p.
Výše jsme zmínili změnu „srstění“ H, která převádí vrcholový úhel kuželového bodu na nulu:
Otázka: Jaké množství křivosti je soustředěno v „bodu srstění“?
Víte, že čím více je kužel uzavřený a ostrý, tím větší je množství křivosti, které obsahuje. Vypočítá se podle úhlové amplitudy odstraněného úseku při vytvoření tohoto „kuželu“ (viz „Černá díra“ v CD Lanturlu). Tato hodnota nemůže být větší než 2p. Množství úhlové křivosti obsažené v „bodu srstění“ je tedy 2p.
Jiný způsob měření: umístěte úsek do koule a rozšiřte jej.
Množství křivosti v každém kuželovém bodě bude tendovat k 2p, zatímco křivost zbytku této „nepříjemné“ koule bude tendovat k nule tak, aby celková křivost zůstala rovna 4p.
Na co nám tyto body srstění budou dobré, kromě přeměny koule na hříbátka?
Vytvořme dva body srstění na kouli směřující do jejího středu:
Před dotykem dvou bodů srstění obsahuje zbytek plochy koule nulovou celkovou křivost, protože každý z těchto bodů obsahuje 2p.
Po kontaktu získáme torus s „nulovou hrdlem“.
Je třeba zvážit novou změnu „rozšíření hrdla“ Eg s její inverzí: „stísnění hrdla“ Eg⁻¹.
Můžeme dále hrát s transformací P (tvorba kuželových bodů). Vytvořme dva kuželové body na kouli, předem převedené na frankfurtskou klobásku, a přiblížme tyto dva body k sobě.
Získáme tento zvláštní objekt:
Podle „restrikční“ definice geodetik v okolí kuželového bodu má tato plocha množinu nejednotných geodetik.
Můžeme pokračovat další změnou, která by měla za následek otevření trubkovitého průchodu:
Jiný způsob přeměny koule na torus. Ve skutečnosti můžeme prozkoumat všechno v této 2D džungli. Můžeme zvážit změny, které vytvářejí díry nebo je zavírají. Plochy mohou být ohýbány, prorýmovány, roztrhány, přehnuté, opět slepeny, zčišťovány, nafukovány, zmenšovány, malované. Ale pouze svět matematiky jim umožňuje se navzájem procházet (imergence). Nicméně se říká, že mrtví v den Posledního soudce vstoupí do života jako „slavné těla“, která budou moci procházet cokoli, dokonce i jinými „slavnými těly“, která se potkají na cestě. Už nebude nutné měnit chodník, když se potkáme: stačilo by se prostě procházet. Studium imergencí tak možná předznamenává studium metafyziky. V každém případě v dalším článku vám vyprávíme příběh o obrácení koule a toru.
Na pokračování