cosmologie à univers jumeaux Matière, matière fantôme, astrophysique. 2 : Métriques conjuguées à état stationnaire. Solutions exactes. (p4)
3) Courbures scalaires conjuguées.
À partir du système d’équations de champ général (1) + (2), on obtient :
(58)
R* = - R
Dans deux points conjugués M et M*, appartenant respectivement aux plis F et F*, les courbures scalaires R et R* sont opposées. Nous appellerons géométries conjuguées celles qui vérifient cette propriété. Nous pouvons tenter d’illustrer ce concept à l’aide d’une image pédagogique. Considérez la figure 1 : en haut, un « posicône » lissé ; en bas, un « négacône » lissé, placés face à face. Un posicône lissé est construit à partir d’un cône tronqué, relié le long d’un cercle à une portion de sphère (surface à densité de courbure angulaire constante).
Fig. 1 : Image pédagogique des géométries conjuguées (R = –R). La masse M se trouve dans le pli F. Le pli F est vide.
Illustré : un couple de points conjugués (M, M*).
La selle de cheval constitue l’équivalent, pour une courbure négative, d’une portion de sphère (surface à densité de courbure angulaire constante). Une sphère contient une courbure totale égale à 4π. Une portion de sphère contient une quantité de courbure angulaire q donnée par :
(59)
Un cône est une surface contenant un point de courbure angulaire concentrée S, correspondant à une courbure angulaire positive q > 0. Nous le construisons conformément à la figure 2.
Fig. 2 : Construction d’un « posicône ».
Définition de la courbure angulaire contenue au sommet du cône : Si l’on trace un triangle formé de trois géodésiques, deux cas se présentent. S’il ne contient pas le sommet, la somme des angles est la somme euclidienne π. S’il contient le sommet, cette somme vaut π plus la courbure ponctuelle correspondante q. Voir la figure 3.
Fig. 3 : Courbure angulaire ponctuelle positive
située au sommet d’un (posi)cône.
De même, nous pouvons construire un « négacône », comme suit :
Fig. 4 : Construction d’un « négacône » doté d’une courbure angulaire ponctuelle négative, située en S.
Nous pouvons assembler un ensemble de petits posicônes, correspondant à des courbures élémentaires dqi, et les coller entre eux. Voir la figure 5.
Fig. 5 : Ensemble de posicônes élémentaires.
La courbure angulaire est une quantité additive. Si le nombre d’éléments tend vers l’infini et les dqi tendent vers zéro, l’objet global tend vers une surface régulière bornée. Sur toute portion de cette surface, nous pouvons mesurer la courbure angulaire (la somme des angles dqi). Nous pouvons également définir une densité locale de courbure angulaire comme suit :
(60)
Ainsi, cet ensemble de posicônes élémentaires assemblés tend vers une surface régulière dotée d’un plan tangent. Si C(M) est constant et positif sur une surface, celle-ci est une sphère ou une portion de sphère. L’intégrale de la densité de courbure angulaire sur la surface de la sphère donne sa courbure totale égale à 4π. Si C(M) est nul, la surface est localement plane (plan, paroi d’un cône, cylindre, par exemple).
Version originale (anglais)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p4)
3) Conjugated scalar curvatures.
From the general field equations system (1) + (2) we get :
(58)
R* = - R
In two conjugated points M and M*, which belong to the folds F ans F*, the scalar curvatures R and R* are opposite. We will call such geometries conjugated ones. We can try to illustrate this concept through a didactic image. Consider the figure1. Up is a smoothed "posicone", down a "smoothed negacone", face to face. A smoothed posicone is built with a truncated cone, linked along a circle to a portion of sphere (constant curvature density surface).
**Fig. 1 : Didactic image of conjugated geometries ( R * = - R ) The mass M is in the fold F . The fold F is empty.
Shown : a couple of conjufated points (M,M).
The horse saddle is the equivalent of a portion of sphere, for negative curvature (constant angular curvature density surface). A sphere contains a total curvature equal to 4p. A portion on a sphere contains an amount of angular curvature q which is (59)
A cone is a surface with contains an (angular) concentrated curvature point S , corresponding to a positive angular curvature q > 0. We build it according to the figure 2.
Fig. 2 :** Building a "posicone".**
Definition of the angular curvature contained in the summit of the cone : If one draws a triangle with three geodesics, we have two cases. If it does not contain the summit, the sum of the angles is the euclidean sum p. If it contains the summit this sum is p plus the corresponding punctual curvature q . See figure 3 .
**Fig. **3) : Punctual positive angular curvature
located at the summit of a (posi)cone.
Similarly we can build a "negacone", as follows :
. Fig.4 :** Building a "negacone"** with punctual negative curvature, located in S.
We can build a set of small posicones, corresponding to elementary curvature dqi and glue these objects together. See figure 5.
Fig. 5 : set of elementary posicones.
The angular curvature is an additive quantity. If the number of elements tends to infinite and the dqi tend to zero, the global object tends to a bounded regular surface. On any portion of the surface we can measure the angular curvature (the sum of the angles dqi ). We can also define a local angular curvature density as follows :
(60)
Then this set of joined elementary posicones tends to a regular surface, with tangent plan. If C(M) is constant and positive on a surface, its a sphere, or a portion of a sphere. The integrated angular curvature density, over the surface of the sphere, gives its total curvature 4p. If C(M) is zero, the surface is locally flat (plan, wall of a cone, cylinder, for example). .