kosmologie s dvojčecím vesmírem Hmota, fantomová hmota, astrofyzika. 2: Stacionární konjugované metriky. Přesná řešení. (s. 4)
3)Konjugované skalární křivosti.
Z obecného systému polních rovnic (1) + (2) dostáváme:
(58)
R* = - R
Ve dvou konjugovaných bodech M a M*, které patří příslušně do záhybů F a F*, jsou skalární křivosti R a R* opačné. Budeme nazývat konjugované geometrie ty, které splňují tuto vlastnost. Můžeme se pokusit ilustrovat tento koncept pomocí didaktického obrázku. Uvažujte obrázek 1: nahoje je vyhlazený „posikón“; dole je vyhlazený „negakón“, umístěné proti sobě. Vyhlazený posikón je konstruován z přeříznutého kuželu, spojeného podél kružnice s částí sféry (povrch s konstantní hustotou úhlové křivosti).
Obr. 1: Didaktický obrázek konjugovaných geometrií (R = –R).* Hmota M se nachází v záhybu F. Záhyb F je prázdný.*
Ilustrováno: pár konjugovaných bodů (M, M*).
Koňský sedlo je ekvivalentem části sféry pro negativní křivost (povrch s konstantní hustotou úhlové křivosti). Sféra obsahuje celkovou křivost rovnou 4π. Část sféry obsahuje množství úhlové křivosti q dané vztahem:
(59)
Kužel je povrch obsahující bod koncentrované úhlové křivosti S, odpovídající pozitivní úhlové křivosti q > 0. Konstruujeme jej podle obrázku 2.
Obr. 2: Konstrukce „posikónu“.
Definice úhlové křivosti obsažené ve vrcholu kuželu: Pokud nakreslíme trojúhelník tvořený třemi geodetickými čarami, nastávají dva případy. Pokud neobsahuje vrchol, součet úhlů je euklidovský součet π. Pokud obsahuje vrchol, tento součet se rovná π plus příslušná bodová křivost q. Viz obrázek 3.
Obr. 3: Pozitivní bodová úhlová křivost
umístěná ve vrcholu (posi)kuželu.
Stejně tak můžeme konstruovat „negakón“ následovně:
Obr. 4: Konstrukce „negakónu“ s negativní bodovou křivostí umístěnou v S.
Můžeme sestavit množinu malých posikónů, odpovídajících elementárním křivostem dqi, a slepit je mezi sebou. Viz obrázek 5.
Obr. 5: Množina elementárních posikónů.
Úhlová křivost je aditivní veličina. Pokud počet elementů jde do nekonečna a dqi jdou k nule, globální objekt jde k omezenému pravidelnému povrchu. Na libovolné části tohoto povrchu můžeme měřit úhlovou křivost (součet úhlů dqi). Můžeme také definovat lokální hustotu úhlové křivosti následovně:
(60)
Tak tato množina slepených elementárních posikónů jde k pravidelnému povrchu s tečnou rovinou. Pokud je C(M) konstantní a pozitivní na povrchu, je tento povrch sférou nebo částí sféry. Integrál hustoty úhlové křivosti na povrchu sféry dává jeho celkovou křivost rovnou 4π. Pokud je C(M) nulový, povrch je lokálně plochý (rovina, stěna kuželu, válec, například).
Original version (English)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p4)
3) Conjugated scalar curvatures.
From the general field equations system (1) + (2) we get :
(58)
R* = - R
In two conjugated points M and M*, which belong to the folds F ans F*, the scalar curvatures R and R* are opposite. We will call such geometries conjugated ones. We can try to illustrate this concept through a didactic image. Consider the figure1. Up is a smoothed "posicone", down a "smoothed negacone", face to face. A smoothed posicone is built with a truncated cone, linked along a circle to a portion of sphere (constant curvature density surface).
**Fig. 1 : Didactic image of conjugated geometries ( R * = - R ) The mass M is in the fold F . The fold F is empty.
Shown : a couple of conjufated points (M,M).
The horse saddle is the equivalent of a portion of sphere, for negative curvature (constant angular curvature density surface). A sphere contains a total curvature equal to 4p. A portion on a sphere contains an amount of angular curvature q which is (59)
A cone is a surface with contains an (angular) concentrated curvature point S , corresponding to a positive angular curvature q > 0. We build it according to the figure 2.
Fig. 2 :** Building a "posicone".**
Definition of the angular curvature contained in the summit of the cone : If one draws a triangle with three geodesics, we have two cases. If it does not contain the summit, the sum of the angles is the euclidean sum p. If it contains the summit this sum is p plus the corresponding punctual curvature q . See figure 3 .
**Fig. **3) : Punctual positive angular curvature
located at the summit of a (posi)cone.
Similarly we can build a "negacone", as follows :
. Fig.4 :** Building a "negacone"** with punctual negative curvature, located in S.
We can build a set of small posicones, corresponding to elementary curvature dqi and glue these objects together. See figure 5.
Fig. 5 : set of elementary posicones.
The angular curvature is an additive quantity. If the number of elements tends to infinite and the dqi tend to zero, the global object tends to a bounded regular surface. On any portion of the surface we can measure the angular curvature (the sum of the angles dqi ). We can also define a local angular curvature density as follows :
(60)
Then this set of joined elementary posicones tends to a regular surface, with tangent plan. If C(M) is constant and positive on a surface, its a sphere, or a portion of a sphere. The integrated angular curvature density, over the surface of the sphere, gives its total curvature 4p. If C(M) is zero, the surface is locally flat (plan, wall of a cone, cylinder, for example). .