svět označený jako dvojník astrofyzika a kosmologie Matice stín matice astrofyziky.6. Spirální struktura.(p3)
- Jak definovat počáteční podmínky pro 2D numerickou simulaci.
Vytvoření 2D řešení podobného Eddingtonovu pro systém rovnic Poisson + Vlasov.
Nenulová (eliptická) řešení rovnice Vlasova byla intenzivně studována po dlouhou dobu ve 3D. V následujícím textu se zabýváme pohyby a polohami ve 2D, takže je třeba vytvořit 2D samoslučivé eliptické řešení rovnice Vlasova.
Napišme rovnici Vlasova:
(1)
kde:
(2)
f (x, y, u, v, t) je funkce rozdělení rychlosti. Rovnice (1) je napsána pomocí notace dyadických tenzorů, v termínech vlastní (reziduální nebo tepelné) rychlosti C = (u, v).
<V> je makroskopická rychlost. m je hmotnost částice.
**** je vektor polohy (x, y).
..
Tučné písmena představují vektory. Poslední člen rovnice (2) představuje skalární součin dvou dyadických tenzorů (viz odkaz [20]). Nyní zavedeme eliptické řešení podobné Eddingtonovu ve 2D:
(3)
kde C je reziduální, tepelná rychlost. V podmínkách stacionárního stavu se rovnice Vlasova stane:
(4)
Kombinací s řešením Vlasova dostáváme:
(5)
Jedná se o třetí stupeň polynomu vzhledem ke složkám u a v tepelné rychlosti C. Vzniká řešení:
(6)
Pak:
(7)
Z třetího řádu členů dostáváme:
(8)
Z členů druhého řádu (9)
Kombinací dostáváme následující systém:
(10)
Nechť:
(11)
Pak:
(12)
Funkce rozdělení se stane:
(13)
kde C je radiální složka tepelné rychlosti C a Cp její azimutální složka. Pak dostáváme:
(14)
Ve klasickém (třírozměrném) Eddingtonově řešení měli jsme elipsoid rychlostí, jehož hlavní osa ukazovala směrem ke středu systému. Viz obrázek 6.
Obr. 6: Elipsoid rychlostí odpovídající Eddingtonově řešení.
V současném 2D eliptickém řešení podobném Eddingtonovu dostáváme elipsu rychlostí, jejíž hlavní osa je konstantní a ukazuje směrem ke středu systému. V centru se elipsa rychlostí stane kruhem (2D rozdělení rychlosti podle Maxwella-Boltzmana). Jak bude ukázáno dále, jeho hlavní osa (průměrná radiální tepelná rychlost) je konstantní vzhledem k radiální vzdálenosti v. Jeho příčná osa
(průměrná azimutální tepelná rychlost) se blíží nule v nekonečnu. Viz obrázek 7.
Obr. 7: Vývoj elipsy rychlostí v 2D řešení podobném Eddingtonovu, v závislosti na vzdálenosti od středu systému.****