| 1 |
Prolog.
...Fyzika
je jako dort :
(1)
- První patro : pozorování,
experimenty. - Druhé patro : diferenciální rovnice.
- Třetí patro : geometrie
- Čtvrté patro : teorie grup.
Grupy řídí geometrii,
která plodí krásné diferenciální rovnice.
Pomocí diferenciálních
rovnic stavíme věci, které se pak používají k vysvětlení nebo předpovědi toho, čemu říkáme fyzikální
fakty.
...Historicky lidé začali
studovat a kodifikovat fakty, pozorování, provádět měření. Pak si vymysleli
zákony zachování a „fyzikální zákony“. Na začátku století začali myslet,
že fyzikální zákony mohou mít něco společného s geometrií.
Ve stejné době Felix
Klein se ptal :
Co
je geometrie?
Všimněte si, že řekl „ageometrie“ a ne „geometrie“ (Erlangenský program)
...Klein,
Lie, Cartan a další ukázali, že pod geometrickým vzhledem se skrývá něco.
Geometrie nebyla posledním patrem, nec plus ultra poznání ve fyzice.
Z grupové struktury lze postavit geometrii.
V následujícím textu se
pokusíme ukázat spojení mezi grupami, geometrií a fyzikou.
Mimochodem, nad grupami, co ?
...
Měl bych tendenci říci : logiku. Ale logika je podlaha, jejímž posledním nájemníkem byl Kurt
Gödel, nebezpečný pyromán. Svým známým teorémem zapálil nábytek,
který byl zcela zničen. Od této tragédie je místnost neobsazená.
...To je
důvod, proč jsem tam dal otazník.
Grupy.
...Co
je grupa ? V následujícím textu omezujeme zkoumání na dynamické grupy fyziky : množinu čtvercových
matric (n,n) podléhající definovaným axiomům. Tyto matice
g, prvky
grupy G, působí jedna na druhou prostřednictvím klasického (řádek-sloupec)
maticového násobení. Mezi těmito čtvercovými maticami najdeme jednotkové
matice.
(1-bis)
...
Grupa podléhá axiomům definovaným norským matematikem Sophusem Lie.
Tyto axiomy platí pro objekty, které jsou mnohem obecnější než množiny
matic. Ale omezíme náš pohled na tento zvláštní svět a použijeme maticové
násobení :
x
1 - První axiom
teorie grup :
Součin dvou prvků
g1 a g2
grupy G :
(2)
g3
= g1 x g2
podléhá :
(3)
Uveďme příklad
grupy matric, která závisí na jediném parametru a. Prvek je :
(4)
Součin dvou prvků
dává :
(5)
nebo :
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
Můžeme zapsat maticový
součin :
(7)
což je podobné g1
a g2 , tj. :
(8)
Příklad naopak : Uvažujme následující množinu matric, která závisí na jediném parametru a
(9)
Součin dvou prvků
dává :
(10)
což je v podstatě odlišné od (5).
2 - Druhý axiom
teorie grup :
V množině prvků
musíme najít zvláštní prvek, nazvaný neutrální prvek e, který, kombinovaný
s jakýmkoli jiným prvkem, podléhá :
(11)
g x e = ex g = g
V grupách, jejichž
prvky jsou čtvercové matice, je tento neutrální prvek e vždy jednotková
matice 1 .
(12)
g x 1
= 1 x g = g
Všimněte si, že používáme
lehké typy pro popis skalárů a tučné typy pro jiné objekty : čtvercové, řádkové
nebo sloupcové matice.
Vraťme se k
prvnímu příkladu grupy :
(13)
Všimněte si, že :
(14)
