a4101
| 1 |
|---|
Úvod.
...Fyzika je jako dort:
(1)
- První patro: pozorování, experimenty.
- Druhé patro: diferenciální rovnice.
- Třetí patro: geometrie – Čtvrté patro: teorie grup.
Skupiny řídí geometrii, která porodí krásné diferenciální rovnice.
S pomocí diferenciálních rovnic stavíme věci, které jsou pak použity k vysvětlení nebo předpovědi toho, co nazýváme fyzikálními faktory.
...Historicky lidé začali studovat a kódovat fakta, pozorování, prováděli měření. Pak si vymysleli zákony zachování a „fyzikální zákony“. Na počátku století začali přemýšlet, že fyzikální zákony by mohly mít něco společného s geometrií.
V téže době položil Felix Klein otázku: Co je geometrie?
Všimněte si, že řekl „geometrie“ a ne „geometrie“ (Erlangenský program).
...Klein, Lie, Cartan a další ukázali, že za zdánlivou geometrií se skrývá něco jiného. Geometrie nebyla posledním patrem, nejvyšším bodem poznání ve fyzice. Z grupové struktury lze sestrojit geometrii.
V následujícím se pokusíme ukázat vztah mezi grupami, geometrií a fyzikou.
Mezitím, co se týče grup, co říct?
...Myslím, že bych řekl: logika. Ale logika je místnost, jejímž posledním obyvatelem byl Kurt Gödel, nebezpečný pyroman. S jeho dobře známým větou zapálil nábytek, který byl zcela zničen. Od té tragédie je místnost prázdná.
...Proto tam dal otazník.
Skupiny.
...Co je skupina? V následujícím omezení studia na dynamické skupiny fyziky: množinu čtvercových matic (n,n) splňujících určené axiomy. Tyto matice g, prvky skupiny G, působí na sebe navzájem klasickým maticovým násobením (řádek-sloupec). Mezi těmito čtvercovými maticemi najdeme jednotkové matice.
(1-bis)
...Skupina splňuje axiomy definované norským matematikem Sophusem Lie. Tyto axiomy se vztahují na objekty mnohem obecnější než množiny matic. Ale omezíme se na tento konkrétní svět a použijeme maticové násobení:
x
1 - První axiom teorie skupin:
Součin dvou prvků g1 a g2 skupiny G:
(2)
g3 = g1 x g2
splňuje:
(3)
Uveďme příklad skupiny matic závislé na jednom parametru a. Prvek je:
(4)
Součin dvou prvků dává:
(5)
nebo:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Můžeme napsat maticový součin:
(7)
což je podobné g1 a g2, tedy:
(8)
Příklad opačný: Zvažme následující množinu matic závislých na jednom parametru a
(9)
Součin dvou prvků dává:
(10)
což je zásadně odlišné od (5).
2 - Druhý axiom teorie skupin:
Ve množině prvků musíme najít zvláštní prvek, nazývaný neutrální prvek e, který po spojení s jakýmkoli jiným prvkem splňuje:
(11) g x **e = e **x **g **= g
Ve skupinách, jejichž prvky jsou čtvercové matice, je tento neutrální prvek e vždy jednotková matice 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Všimněte si, že používáme římské písmo pro skaláry a tučné pro ostatní objekty: čtvercové matice, řádky nebo sloupce.
Připomeňme si původní příklad skupiny:
(13)
Všimněte si, že:
(14)