a4102
| 2 |
|---|
3 - Třetí axiom teorie grup:
Každý prvek skupiny musí mít své inverzní, označené g⁻¹, definované jako:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
V našem příkladu:
(16)
tj. b = - a nebo:
(17) g⁻¹ ( a ) = g ( - a )
Zde je výpočet inverzní matice triviální.
Jaká je podmínka, aby daná čtvercová matice měla své inverzní?
...Každé čtvercové matici lze přiřadit skalár nazývaný determinant. Pro definici viz nějaká kniha věnovaná lineárnímu počtu. Tento determinant se značí: det ( g )
Kromě toho máme obecný teorém:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
Determinant diagonální matice je:
(18)
Z toho vyplývá: det ( 1 ) = 1
protože 1 je diagonální matice.
Podle definice inverzní matice:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Potom:
(19)
det ( g × g⁻¹ ) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
...Pokud det (g) = 0, podmínka (19) nemůže být splněna. Množiny matic, jejichž konkrétní prvky mají nulový determinant, nesplňují třetí axiom a nemohou tvořit skupinu.
Navíc:
(20)
4 - Čtvrtý axiom teorie grup:
Násobení musí být asociativní, tj.:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Matice násobení je základně asociativní.
Rozměr skupiny:
...Jak uvidíme, skupina může působit na prostoru, jehož body jsou popsány sloupcovými vektory. Například body prostoru času (nazývané "události"):
(22)
...Toto je prostor čtyř rozměrů. Různé skupiny mohou na něj působit. Ale rozměr skupiny nemá nic společného s rozměrem prostoru, na kterém působí.
Rozměr skupiny (matic) je počet parametrů, které definují tyto čtvercové matice.
Uvedli jsme příklad matic definovaných jedním parametrem
a
Takže rozměr této skupiny je jeden.
Všimněte si, že:
(22-bis)
Poznámka:
Všechny skupiny matic nejsou komutativní, i když skupina, kterou jsme studovali, má tuto vlastnost:
(23)
Pokud taková skupina působí na sloupcový vektor odpovídající dvourozměrnému prostoru:
(23 bis)
to odpovídá rotaci kolem pevného bodu v rovině:
(23 ter)
Tato operace je zřejmě komutativní.
Máte tendenci říct: "jako všechny skupiny rotací".
...Mýlíte se. Zvažte rotace kolem os procházejících daným bodem O. Kombinujte dvě po sobě následující rotace kolem různých os. To není komutativní. Cvičení: ukážete to pomocí systému kolmých os (OX, OY, OZ), ukážete, že kombinované rotace kolem těchto os nevytvářejí komutativní operaci. Vyberte libovolný objekt.
- Udělejte rotaci +90° kolem OX, pak rotaci +90° kolem OZ
- Vraťte se do počátečních podmínek a:
- Udělejte rotaci +90° kolem OZ, pak rotaci +90° kolem OX
Porovnejte výsledky.
Akce skupiny.
...Skupina G se skládá z čtvercových matic g. Mohou být násobeny. Řekneme, že skupina může působit na sobě samotné.
Skupina může také působit na prostor složený z bodů popsaných sloupcovými vektory. Příklad:
(24)
Pokud označíme:
(25)
akce skupiny na tento prostor se stane:
(26) g × r
...V tomto konkrétním případě se akce na prostor redukuje na jednoduché maticové násobení. Ale pojem akce je mnohem obecnější.