Skupinový projekt s dynamikou a prostorou pro moment

a4114

Projekt.

… Naším výchozím bodem bude dynamická skupina G, tedy rodina čtvercových matic g.

… Dynamická: protože zde je zapojen čas.

… Tato skupina má určitou dimenzi n. Může působit na prostor X, který má svou vlastní dimenzi (která nemá nic společného s dimenzí skupiny, ta poslední je počtem nezávislých parametrů určujících každou matici g z množiny tvořící skupinu G).

… Nyní potřebujeme akci, abychom definovali prostor, na němž skupina působí – její prostor hybností (nebo prostor impulsů). Tento prostor není prostoročas, ve kterém se částice předpokládají pohybovat. Sestrojení takového prostoru nás zavede do zvláštní země, která bude připomínat šizofrenní krajina. Ale pokud tímto směrem pokračujete, budete blíže k fyzikální realitě, než jste byli dříve.

… Jakmile budeme mít prostor, na kterém můžeme hrát, a akci, na kterou můžeme působit, můžeme hybnosti-pohyby třídit do druhů a tyto druhy identifikovat s elementárními částicemi.

… Výše jsme uvedli, že součin skupiny s vektorem, odpovídající SO(2) a O(2), stejně jako SO(3) a O(3), představuje akci: g × r

tj.:
(166b)

Všimněme si, že ji můžeme napsat ekvivalentně takto:
(167)

Pro orientovanou eukleidovskou skupinu a úplnou eukleidovskou skupinu musíme napsat akci:
(168)

Ale tyto akce, stejně jako příslušné akce dynamických skupin na prostoru, např.:
(169)

nevytvářejí… nic. Jednoduše jen přemisťují objekty v prostoru, nebo v prostoročasu, nebo v jemnějších prostorech (pětiměrný prostor, desetiměrný prostor).

Musíme hledat něco „skrytého pod skupinou“: její prostor hybností (všechny maticové skupiny jej mají) a její

koadjungovaná akce na svém prostoru hybností.

která odpovídá skutečné fyzice.

Co je fyzika?

… Dobrá otázka. Francouzský matematik Jean-Marie Souriau vynalezl koncept koadjungované akce skupiny na jejím prostoru hybností a ukázal jej na počátku sedmdesátých let. Tento bod bude později rozvinut.

… Samozřejmě fyzik, po dokončení výpočtů, položí otázku:

Proč?

… Jinými slovy: funguje to, ale můžeme tomuto konceptu koadjungované akce dynamické skupiny na jejím prostoru hybností přidat fyzikální význam? Odpověď se zdá být ne.

… Představte si, že jste student Aristotela. Najednou získáte intuici a vynaleznete nové slovo pro její pojmenování:
setrvačnost.

… Aristotel přichází. Byl informován ostatními studenty, že jste něco nového vymysleli, a ptá se:

– Mohl byste nám vysvětlit, co znamená setrvačnost?

Nemůžete to udělat pomocí Aristotelovy terminologie. Potkali jste změnu paradigmatu.

… Přejděme do středověku. Zkuste vysvětlit chemickou reakci pomocí slovníku čtyř prvků. To je také nemožné…

Koadjungovaná akce skupiny na jejím prostoru hybností představuje změnu paradigmatu. Je to nový pohled na fyziku.

Ve skutečnosti fyzici neustále manipulují s akcemi skupin, když mluví o „invarianci“ nebo „zákonech zachování“.

Běžný fyzik pak položí otázku:

– Mohl byste mi, pokud možno jednoduše, vysvětlit, co znamená koadjungovaná akce skupiny na jejím prostoru hybností?

Odpovídáme:

– Proč ve fyzice používáte zákony zachování?

– No… protože existují zachovávané veličiny: energie, hmotnost, elektrický náboj…

– Proč jsou tyto veličiny zachovány?

– Ale to je základní princip!…

– Můj milý příteli, uvažujte koadjungovanou akci skupiny na jejím prostoru hybností jako o základním principu.

– Co tím myslíte?

– Každá fyzika je založena na grupové struktuře. Pokud identifikujete skupinu, můžete sestrojit její koadjungovanou akci a příslušný prostor hybností. Pak složky hybnosti představují odpovídající fyzikální veličiny.

– ………

Pozor. Pokud jste fyzik (i teoretický fyzik…) a čtete následující, podstoupíte paradigmatickou mutaci. Po tomto bude fyzika jednoduše… jiná.

Akce.

Co je akce?
Něco spojeného se skupinou, které splňuje následující axiomy:
(170)

Samozřejmě pro maticové skupiny je operace skládání:
x
(násobení matic řádek-sloupec)

Pro maticové skupiny můžeme psát:
(171)

Zvažme sloupcový vektor:
(172)

kde např. x představuje vektory (173)

Platí-li (174)
axiomy akce? Buďte g a g' dva prvky skupiny G.
(175)

(175b)

Musíme mít:
(176) A_g(A_g'(x)) = A_g''(x)

tj.:
(177)

vzhledem k asociativitě:
(178) g'' = g × g'

jde tedy o skutečnou akci skupiny.

… Všimněme si, že jsme prvek g skupiny G umístili vlevo. Co se stane, když ho umístíme vpravo? Pak musí být spojen s řádkovou maticí y.
(179) A_g(y) = y × g

Je to akce?

Index Teorie dynamických skupin