a4115
| 15 |
|---|
Potřebujeme:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Avšak:
Součin dvou matic obecně není komutativní. Důsledkem je:
(181) Ag(y) = y × g
není akcí grupy: nesplňuje výše uvedené axiomy. Nicméně odpovídá „antiakci“:
(182)
Pro matice:
(183)
Stále hledáme akce a antiakce. Z vektoru x můžeme sestrojit jeho transponovaný tvar a zkusit:
(184)
Je to akce? Pojďme na to.
g" = g × g'
(185)
(186)
Zde používáme větu lineárního počtu:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
kde M a N jsou libovolné matice (n,n). Odtud:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
a:
(189)
což je skutečně akce grupy. Zvažme nyní:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ukažme, že jde o akci. Budeme uvažovat následující tři matice.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Musíme ověřit:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Spočtěme levou stranu:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
nebo:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
tj.:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Jde skutečně o akci grupy. Podle Souriau ji budeme nazývat
adjungovaná akce:
(193)
Nyní budeme uvažovat antiakci grupy na matici m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Ukažme, že splňuje:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Spočtěme levou stranu:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
nebo:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
tj.:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g')
nebo:
(199) g"⁻¹ × m × g"