a4116
| 16 |
|---|
Potřebujeme:
Dvojice akcí.
Výše jsme vytvořili akci:
(200)
a antiakci:
(201)
První může odkazovat na libovolný sloupcový vektor m:
(202) m' = g x m
a druhá na libovolný řádkový vektor n:
(203) n' = n x g-1
m patří do určitého prostoru M
n patří do jiného prostoru N.
Vytvořme skalár:
(204) S = n m Všimněme si, že:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
... Řekneme, že uvažované dvě akce jsou duální. Podobně také prostory M a N, do nichž patří m a n, jsou duální prostory: N = M* nebo M = N*
Obvykle říkáme, že pokud je m vektor, pak je n jeho kovektor.
Předpona „co“ je charakteristická pro dualitu. Jak poznamenal Souriau, dualita existuje i v politice a dodává:
- Dualita byla přítomna v marxismu-leninismu od počátku. Zamyslete se nad komunistem a munistou.
Zkuste jiný pohled. Představme si, že máme jednu akci a chceme sestrojit její duální variantu.
Schématicky:
(206)
... Aby bylo možné vytvořit skalární součin se sloupcovým vektorem m, musí být n řádkovým vektorem. Tyto dva vektory tedy musí být definovány stejným počtem skalárů:
(207)
poté hledáme duální akci:
(208)
n' = Ag(n) tak, aby byl skalární součin:
(209)
nezměněn. Musí platit:
(210)
n' m' = n m Máme:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
jejíž řešením je:
(213) Ag(n) = n x g-1
Směrem k sestavení základní akce, nebo koadjointní akce grupy na jejím momentovém prostoru (podle Souriau).
Hledáme akci grupy na jejím „prostoru hybnosti“. Budeme ji konstruovat jako duál antiakce:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
... V předchozí části byl m vektorem. Ale v (214) jde o matici. Budeme uvažovat matici závislou na určitém počtu parametrů: { m1, m2, ..., mn }
Musíme si představit duální množinu skalárů: { n1, n2, ..., nn }
aby platilo:
(215)
Schématicky:
(216)