a4117
| 17 |
|---|
Výběr matice m.
... Skupina G může být porovnána s určitou plochou. Závisí na určitém počtu parametrů. Nechť P je toto prostor parametrů skupiny a p je bod tohoto prostoru. Počet těchto parametrů pi je dimenze skupiny.
(217)
Zobrazeno: neutrální prvek e (jednotková matice 1).
Můžeme dát přírůstek d p:
(218)
... Pak se derivuje matice g, což je prvek skupiny. Dostaneme čtvercovou matici dg, která nepatří do skupiny. Nazývá se tečný vektor ke skupině. Tyto tečné vektory tvoří to, co se nazývá Lieova algebra skupiny (která není vlastně algebrou).
Volíme derivaci v okolí neutrálního prvku:
(219)
a volíme následující antiakci:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Poznámka:
Proč volíme tečný vektor ke skupině v g = 1?
... Mohli bychom použít obecnější tvar, tečný vektor dg v libovolném bodě skupiny. Dostali bychom stejný výsledek, ale výpočty by byly mnohem náročnější.
Dimenze skupiny je n. Matice g závisí na n parametrech { pi }.
Prvek Lieovy algebry dg(g=e) závisí na stejném počtu parametrů { d pi }.
Výpočet výše uvedené antiakce poskytne zobrazení:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Zavedeme stejný počet skalárů: { J i }
Tento soubor nazýváme hybnost J skupiny. J = { J i }
Je to soubor n veličin, n skalárů. Někdy můžeme tento soubor převést do matice (Poincarého akce na jeho hybnost).
{ J i } je kotangentní vektor { d p i } ke tečnému vektoru skupiny. Duality dává:
(222)
Z tohoto zachování skalárního součinu, pokud známe zobrazení:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
můžeme sestrojit duální zobrazení:
(224) { J i } -----> { J 'i }
To je základní akce, kterou hledáme, a Souriau ji nazývá koadjungovanou akcí skupiny na jejím prostoru hybnosti.
Nejlepší způsob, jak tento koncept ilustrovat, je uvést příklad:
Koadjungovaná akce Poincarého skupiny na jejím prostoru hybnosti Jp.
Výše jsme představili zobecněnou Lorentzovu skupinu. Volbou:
(225)
dostaneme Lorentzovu skupinu L, jejíž prvek L vyhovuje axiomatické definici:
(226)
Prostorově-časový vektor je (227)
S c = 1 dostaneme základní kvadratickou formu, metriku Minkowského:
(228)
Inverzní matice je (229)
Nyní zavedeme prostorově-časovou translaci:
(230)
sestrojíme prvek gp Poincarého skupiny Gp následovně:
(231)
Cvičení: ukázat, že se jedná o skupinu a vypočítat inverzní matici:
(232)
Prvek Lieovy algebry je (233)
a antiakce:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Zaznamenáme, že
(235) G d L
je antisymetrická matice. Označme ji:
(236)
z toho dostaneme:
(237)
Nechť:
(238)
z toho můžeme sestrojit antiakci:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
což nám poskytne zobrazení:
(240)
(240b) (240c)
je požadované zobrazení:
(241)