a4119
| 19 |
|---|
Částice se spinem.
...Poincarého grupa popisuje relativistický pohyb bodového objektu. Podobně grupa Bargmann popisuje pohyb ne-relativistický. Složky hybnosti vznikají jako čistě geometrické veličiny. Jedná se o geometrizaci fyziky. Fyzici jsou obeznámeni s energií E a vektorem hybnosti p. Ale mohou být trochu zmatení dvěma dalšími objekty: přechodem f a vektorem spinu l. Tvar složek hybnosti závisí na volbě souřadnic. ...Každá dynamická grupa má svůj prostor hybností a koadjointní akci na tomto prostoru. Kdybychom místo relativistického světa (Poincarého grupy) zvolili ne-relativistický svět, museli bychom se obrátit k grupě Bargmann. Pro výpočetní detaily viz mé přednášky o grupách. Grupa Bargmann je netriviální rozšíření Galileovy grupy: (272)
Jak si čtenář může všimnout, tato grupa působí na pěti dimenzionálním prostoru:
**r **: prostor
t : čas
z : další proměnná.
...Otázky týkající se dodatečných proměnných budou řešeny později. Na této stránce byl výše uveden úplný výpočet koadjointní akce grupy Poincaré. Stejně lze odvodit i výpočet koadjointní akce grupy Bargmann na jejím prostoru hybností. Paradoxně je výpočet ve ne-relativistickém světě o něco složitější než ve světě relativistickém. Výsledek je následující: (273)
Fyzik rozpozná některé známé objekty, například rychlost: (274)
a kinetickou energii: (275)
m v je hybnost. Rychlost vzhledem ke komu? Grupa mění parametry pohybu, přidává částici rychlost v a kinetickou energii E. Můžeme zvolit opačný pohled a uvažovat, že grupa je specifický pohled na něco, na částici. Pokud zvažujeme grupu SO(3), matice a, znamená to „viděno z jiného úhlu“. Pokud zvažujeme grupu O(3), matice a, přidáváme možnost pozorovat „věc“ přes zrcadlo.
Vektor posunutí (276)
grupy Eukleida přidává „viděno z jiného místa“.
Ve dynamických grupách přítomnost rychlosti v ve skupině znamená, že pozorovatel se pohybuje. Časový posun e = Dt znamená, že pozorovatel vidí věc po určité prodlevě. Vektor posunutí Dr a časová prodleva Dt lze spojit do vektoru prostoročasového posunu: (277)
Podívejte se na vzorce, z grupy Bargmann vidíme, že:
m' = m
Bez ohledu na pohled se hmotnost nemění.
Trochu zjednodušme tento „pohled“, zvolíme-li a = 1.
Koadjointní akce se stane: (278)
...Koadjointní akce ukazuje změnu parametrů pohybu. Pokud přecházíme z klidového stavu do neklidového, počáteční podmínky odpovídají:
E = 0 (nulová energie)
**p **= 0 (nulová hybnost, nulová rychlost)
„přechod“ f = 0
Pak koadjointní akce dává: (279)
„Zvažovat“ je třeba číst ve svém etymologickém významu.
Vykonavatel říká: – Založit inventář a záznam.
...Statický (v = 0) pohled na věci odpovídá grupě Eukleida. Vykonavatel pozoruje věci z vzdálenosti c. Pozoruje je v okamžiku, kdy se děj odehrává (Dt = 0). Případně se podívá z určitého úhlu (a různé od 1).
...Generál, který přeletí bojiště v letadle, je nějaký druh vykonavatele, který pozoruje věci z pohyblivého pohledu (z letadla letícího rychlostí v). ...Ale generál ve svém štábu, který sleduje film pořízený bezpilotním letounem, dronem, několik hodin předtím, říká: – Zvažujeme cíl tak, jaký byl před hodinou (Dt nenulové), viděný z pohyblivého pozorovacího místa (v nenulové), z výšky pěti tisíc stop (c nenulové), letící rychlostí v a pořizující snímek pod určitým úhlem (a různé od 1).
...Cíl nemá definovanou rychlost, polohu ani orientaci, i když je považován za „pevný“ objekt. Vše je relativní. I Země, Slunce, naše galaxie se pohybují ve vesmíru.
...„Severní pól“ Země se liší od severního pólu Slunce o 23° a v čase se mění (26 000 let), kvůli precesi rovnodenností. Sever ukazovaný Sluncem (jeho vlastní osa rotace) není stejný jako ten ukazovaný naší galaxií, Mléčnou dráhou, která má svůj vlastní pohyb rotace (rozdíl 90°). I galaxie se pohybuje rychlostí tří set mil za hodinu. Vzhledem ke komu? Ke ostatním. To je všechno, co můžeme říci. Grupa odpovídá dvěma různým pohledům.
...Pokud uvažuji, že objekt je klidný, pevně umístěný ve vesmíru a čase a nemá rotaci, mohu říci jen:
- Pokud se od něj vzdálím o vzdálenost c.
- Pokud ho pozoruji při letu rychlostí v.
- Pokud informace z této věci dorazí ke mně s časovou prodlevou Dt.
Vzhledem ke mně:
---> Hmotnost objektu se nezmění.
----> Objektu připisuju hybnost mv, považovanou za zdánlivou.
-----> Objekt získá „přechod“ f = m [ c - v Dt ]
-----> Získá spin (279b)
Napišme to výslovněji: (280)
(281)
(282)
nebo: (283)
Můžeme považovat tři nezávislé složky matice spinu l za složky vektoru: (283b)
...I když v našem prostoru nebyl definován vektorový součin, tedy prostor nemá určenou pravotočivost, můžeme poslední výraz považovat za vektorový součin. (284)
...Obrácené v označuje vektorový součin. Vidíme, že poslední řádek vzorců udávajících koadjointní akci odpovídá: (285)
l je matice, nikoli vektor. Ale podle zvolené notace označují tučné písmena indiferentně matici nebo vektor.
Tento vektor začíná připomínat něco známého fyzikovi: hybnost.