a4123
| 23 |
|---|
Připomeňme složky Poincarého grupy:
E: energie
p: hybnost
f: posun
l: matice spinu.
Abychom zůstali blízko textu Souriaua, označme
-
Ln prvek neutrální komponenty Ln úplné Lorentzovy grupy L.
-
Ls prvek, který invertuje prostor.
-
Lt prvek, který invertuje čas.
-
Lst prvek, který invertuje jak prostor, tak čas.
C je vektor posunu prostoročasu, získáme následující složky Poincarého grupy:
gp ( Ln , C) prvek neutrální komponenty Gpn.
gp ( Ls , C) prvek komponenty Gps, která invertuje prostor.
gp ( Lt , C) prvek komponenty Gpt, která invertuje čas.
gp ( Lst , C) prvek komponenty Gpst, která invertuje obě.
Koadjointní akce je: (313)
P je čtyřvektor:
(314)
Máme čtyři charakteristické matice: (315)
s l = ± 1 a m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
Zajímá nás C = 0 (319)
z čehož l' = l a f' = l m f
a: (320)
gp ( Ln , C): I E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): I E → E; p → - p; f → - f; l → l
gp ( Lt , C): I E → - E; p → p; f → - f; l → l
gp ( Lst , C): I E → - E; p → - p; f → f; l → l
Inverze neovlivňují matici spinu l.
Naopak, inverze T a inverze energie jsou ekvivalentní.
E → -E (mohli bychom to nazvat „symetrie E“)
Spin s, jako velikost vektoru spinu s, je pouze číslo, které se nezmění akcí žádné komponenty grupy, ať už jsou ortochronní nebo antichronní. ... Klidová energie částice je mc². Jak vidíme, inverze hmotnosti souvisí s inverzí času. Ale inverze prostoru nezmění ani energii, ani hmotnost.
Souriau označuje dvě první souvislé komponenty úplné Poincarého grupy:
Gpn, Gps
ortochronní komponenty (Gpn je neutrální komponenta).
A zbývající dvě: Gpt, Gpst
antichronní komponenty. Tím vzniká problém záporných hmotností. Existují? Pokud ano, co se stane při srážce částic s opačnými hmotnostmi a energiemi:
- mc² a - mc²
...Všimněme si, že to neodpovídá tzv. „anihilaci“ částice a antíčástice. Při srážce těchto částic vzniká zářivá energie, foton. Výsledek srážky částice s kladnou energií a částice se zápornou energií by měl být mnohem záhadnější, protože by měl být nulový: nic.
...Co je příroda, co jsou částice? V tomto přístupu vycházíme z dané grupy: Poincarého grupy. Pak konstruujeme její akci na prostoru hybností. Tento prostor hybností se skládá z bodů. Každý bod odpovídá pohybu jednoho geometrického objektu, který tvoří prostor spojený s grupou.
...V dalším ukážeme, že Poincarého grupa není schopna zahrnout všechny vlastnosti částic.
...Rozměr Poincarého grupy je 10.
Rozměr prostoru hybností je tedy také deset. (321) J = { E, p, f, l }
Pokud zvolíme souřadný systém vázaný na částici, pak f = 0.
Shrnutí: jediné vlastnosti, které se přirozeně objevují z Poincarého grupy jako geometrické veličiny, jsou:
Pro částici nulové hmotnosti:
- Její energie – její spin a helicitu
Pro částici nenulové hmotnosti:
- Její klidová hmotnost – její spin.
Ostatní vlastnosti:
-
Elektrický náboj
-
Baryonový náboj
-
Leptonový náboj
-
Muonový náboj
-
Tauonový náboj
-
Gyromagnetický faktor
a skutečnost, že daná částice může odpovídat světu hmoty nebo antihmoty, nejsou „obsaženy“ v Poincarého grupě. Tuto grupu později rozšíříme, abychom tyto vlastnosti zahrnuli.
V současnosti grupa částice a antíčástice nevytváří. Ale pokud bude doplněna svými dvěma podmnožinami (dvě ortochronní komponenty plus dvě antichronní komponenty), „vytvoří“ jako odlišné druhy částice s kladnou a zápornou energií.
...Pokud úplná Poincarého grupa „vládne“ vesmíru, pak by mohly kladné a záporné energie spolu existovat, takže jejich setkání by vyvolalo plnou anihilaci. Pokud by vesmír byl naplněn 50 % částicemi s kladnou energií a 50 % částicemi se zápornou energií, existovala by velká pravděpodobnost, že celý vesmír by se samostatně anihiloval, nezůstalo by nic:
-
Žádné částice s kladnou energií.
-
Žádné částice se zápornou energií – žádné fotony s kladnou energií
-
žádné fotony se zápornou energií.
Nic. Vůbec nic. Jaká katastrofa!
...Jak navrhuje Souriau, Bůh ve své nekonečné moudrosti vytvořil pouze částice s kladnou energií a fotony s kladnou energií. Stejně tak jeho andělé zakazují používání antichronních komponent Poincarého grupy, které byly přísně uzavřeny někde.
...V další části zvážíme jinou možnost.