a4124
| 24 |
|---|
Speciální Galilejův grupa.
...Čtenář najde tuto rozšíření v knize Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Ed. 1997 a ve francouzské verzi Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Skupina může být rozšířena. To znamená, že počet parametrů, na kterých závisí, se zvýší. Vypočítejte počet parametrů, na kterých závisí Galilejova skupina. Začneme s maticí rotace ve 3D:
(322)
Jedná se o ortogonální matici:
(323)
Tyto matice tvoří skupinu SO(3), což je podskupina skupiny O(3) složené ze všech ortogonálních matic. Máme:
(324)
Připomeňme rozdíl s:
(325) (325b)
jsou nejobecnější ortogonální matice, jejichž determinanty podléhají:
(326)
Konec této poznámky.
Další skupina čtvercových matic (5,5) bude nazývána speciální Galilejovou skupinou:
(327)
Matice rotace závisí na třech volných parametrech, Eulerových úhlech. Takže rozměr skupiny je deset.
Použitím notace:
(328)
dostáváme:
(329)
Spolu s vektorem prostoročasu:
(330)
takže odpovídající akce speciální Galilejovy skupiny je:
(331)
...Zadaná speciální Galilejova skupina je možné vypočítat akci skupiny na jejím prostoru hybností. Tento výpočet nebude uveden zde. Čtenář jej najde ve svých přednáškách o skupinách, dostupných.
Uveďme výsledek:
(332)
Rozpoznáváme hybnost **p **a energii E. Hybnost je složena z:
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Deset skalárních veličin. Deset rozměrů pro skupinu. Stále máme vektor přechodu **f **a antisymetrickou matici spinu **l **(složenou ze tří nezávislých složek lx , ly , lz , tvořících „vektor spinu“).
Triviální rozšíření speciální Galilejovy skupiny.
Následující matice tvoří novou skupinu.
(334)
Zavádí novou složku f, skalár, „phasus“ (spojený s kvantovým světem). Rozměr skupiny se stane 10 + 1 = 11
Tato nová skupina působí na pětidimenzionálním prostoru:
(335)
z je „dodatečný rozměr“. Byl poprvé zaveden Polákem Kaluzou v roce 1921, poté J.M. Souriau v roce 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, nebyl přeložen do angličtiny).
Znovu lze vypočítat odpovídající koadjungovanou akci skupiny na jejím prostoru hybností. Zjistíme toto:
(336)
Hybnost se stane:
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...Máme další skalární množství m a identifikujeme jej s hmotností. Vidíme, že speciální Galilejova skupina působící na prostoročasu přináší energii, ale ne hmotnost, jako složku hybnosti. V současnosti (triviálním rozšířením) naše částice získává další atribut, který identifikujeme s hmotností, velmi libovolně, a který neinteraguje s jinými složkami hybnosti.
Index Teorie dynamických skupin
Původní verze (anglicky)
a4124
| 24 |
|---|
The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.