a4125
| 25 |
|---|
Netriviální rozšíření speciální Galileovy grupy.
Bargmannova grupa (1960)
Následující matice (viz mé přednášky o grupách)
(338)
tvoří grupu, objevenou Bargmannem v roce 1960. Opět působí na prostoru pěti dimenzí. Její dimenze je 11 kvůli přítomnosti skaláru f. Jedná se o netriviální rozšíření speciální Galileovy grupy.
(339)
Pokud spočítáme koadjointní akci grupy na její hybnost, získáme:
(340)
...Vidíme, že tato koadjointní akce je jemnější a hmotnost interaguje s ostatními složkami hybnosti. Toto jsme již analyzovali výše a ukázali, jak to přináší fyzikální význam složkám hybnosti.
...Hybnost je pohyb dané částice. Bargmannova grupa popisuje nerelativistické pohyby. Můžeme zvážit částici v klidu, bez energie, bez hybnosti, bez spinu. Jen nenulová hmotnost:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Použijeme následující prvek Bargmannovy grupy:
(341)
Složky hybnosti se stanou:
(342)
...V soustavě souřadnic spojené s částicí zůstává přechod **f **nulový. Ukázali jsme, že matice spinu se shoduje s kinetickým momentem.
...Důležité je zde prozkoumat triviální rozšíření speciální Galileovy grupy (proč „speciální“? To bude vysvětleno později). Při tomto triviálním rozšíření se k hybnosti jednoduše přidá další skalár.
Nyní prozkoumejme rozšíření Poincarého grupy:
Centrální rozšíření Poincarého grupy. (343)
„ep“ znamená „rozšířená Poincarého grupa“. Lo je prvek podgrupy ortochronní Lo úplné Lorentzovy grupy L. Můžeme tedy považovat uvedený prvek za ortochronní podgrupu Gepo úplné rozšířené Poincarého grupy, jejíž prvek je:
(344)
Obě působí na prostoru pěti dimenzí:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Lze ukázat, že toto rozšíření nemůže podporovat nenulové členy v prvním řádku místo 0 = ( 0 0 0 ), mezi 1 a f.
...Jak ukázal J.M. Souriau, metoda geometrické kvantizace (metoda Kostant-Kirillov-Souriau) umožňuje odvodit Schrödingerovu rovnici z Bargmannovy grupy a Klein-Gordonovu rovnici z rozšířené Poincarého grupy (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Navíc toto centrální rozšíření grupy přidává k hybnosti další skalár (stejně jako triviální rozšíření Bargmannovy grupy):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp představuje klasickou hybnost Poincarého grupy. Pak se koadjointní akce hybnosti zjednoduší na:
(347)
Výpočet není složitý a je podobný tomu, které bylo uvedeno výše. Spočítáme antiakci:
(348)
Následně se dualita vyjadřuje konstantností následujícího skaláru:
(349)
...Získáme tak další skalár c, který je prostě zachován koadjointní akcí. Od té doby tento skalár neměl fyzikální význam. V následujícím vše vysvětlíme. Samozřejmě můžeme grupu rozšířit kolikrát chceme:
(350)
Pokaždé přidáme další skalár
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } a koadjointní akce se stane:
(352)
Čtenář řekne: „No, proč bychom nemohli přidat 57 nových skalárů?“
Přidejme jednoduše šest a identifikujme tyto nové skaláry s:
(353)
c 1 = q (elektrický náboj)
c 2 = cB (baryonový náboj)
c 3 = cL (leptonový náboj)
c 4 = cm (mionový náboj)
c 5 = ct (tauonový náboj)
c 6 = v (gyromagnetický koeficient)
Grupa působí na následujícím desetirozměrném prostoru:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
tj. časoprostor plus šest dalších rozměrů.
(355)
Připomeňme, že tato grupa je sestavena ze subgrupy ortochronní
Lo = Ln (neutrální komponenta) U Ls (odpovídající prostorové inverzi)
úplné Lorentzovy grupy L.
Hybnost se stane:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp je část hybnosti odpovídající Poincarého grupě Gop (ortochronní podgrupa).
Jaký je fyzikální význam?
...Hybnost patří do prostoru, který je n-rozměrnou varietou. Poincarého grupa má deset rozměrů, takže hybnost Poincarého grupy se skládá ze deseti veličin.
Poté přidáme k grupě šest dalších rozměrů odpovídajících dalším fázím:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Hybnost se stane:
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Rozhodneme, že mezi množinou skalárů
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
identifikujeme energii E, hybnost p, přechod f, antisymetrickou matici spinu l.
...E a p mohou nabývat všech možných hodnot, ale kvantové argumenty vyžadují konstantní velikost s vektoru spinu (v soustavě souřadnic spojené s částicí), což zde není odůvodněno a odpovídá práci Souriaua.
Máme šest dalších skalárů:
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Rozhodneme, že mezi nekonečně mnoha možnými volbami některé diskrétní volby odpovídají reálným částicím (a antíčásticím). V 16-rozměrné varietě odpovídající prostoru hybností tedy vybereme diskrétní pohyby odpovídající částicím s definovanými kvantovými čísly
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Zatím koadjointní akce grupy zajišťuje pouze zachování těchto veličin po daných pohybech. Existují „pasivní kvantová čísla“, stejně jako hmotnost se objevuje jako pasivní veličina, když vznikne z triviálního rozšíření speciální Galileovy grupy.