| 2 |
3 - Třetí axiom teorie grup:
Každý prvek grupy musí mít svůj inverzní prvek, zapsaný g-1, definovaný takto:
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
V našem příkladu:
(16)
tj.: b
= - a nebo:
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Zde je výpočet
inverzní matice triviální.
Jaká je podmínka
pro to, aby daná čtvercová matice měla svou inverzní matici?
...Ke
každé čtvercové matici můžeme přiřadit skalár zvaný determinant. Pro
definici viz kteroukoli knihu věnovanou lineárnímu počtu. Tento determinant
se značí: det ( g )
Navíc máme obecnou větu:
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
Determinant diagonální matice je:
(18)
V důsledku toho:
det ( 1 ) = 1
neboť 1 je diagonální matice.
Z definice inverzní
matice:
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Pak:
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Pokud
det (g) = 0, podmínka (19) nemůže být splněna. Množiny matic,
jejichž jednotlivé prvky mají nulový determinant, nesplňují třetí axiom,
a nemohou tvořit grupu.
Mimochodem:
(20)
4 - Čtvrtý axiom
teorie grup:
Násobení musí
být asociativní, tj.: .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
Násobení matic
je v zásadě asociativní.
Dimenze grupy:
...Jak
uvidíme, grupa může působit na prostor, jehož body jsou popsány sloupcovými vektory.
Například body časoprostoru (zvané „události“):
(22)
...Toto
je čtyřrozměrný prostor. Různé grupy na něm mohou působit. Ale dimenze
grupy nemá nic společného s dimenzí prostoru, na který působí.
Dimenze
grupy (matic) je počet
parametrů, které definují tyto čtvercové matice.
Uvedli jsme příklad
matic, definovaných jediným parametrem
a
Takže dimenze
této grupy je jedna.
Všimněte si, že:
(22-bis)
Poznámka:
Ne všechny grupy matic
jsou komutativní, ačkoli grupa, kterou jsme studovali, tuto vlastnost má:
(23)
Pokud taková grupa působí na
sloupcový vektor, odpovídající 2D prostoru:
(23 bis)
odpovídá to rotaci kolem pevného bodu v rovině:
(23 ter)
Tato operace je zjevně
komutativní.
Budete mít tendenci říci:
„jako všechny grupy rotací“.
...Mýlíte se. Uvažujte rotace kolem os procházejících daným bodem O. Zkombinujte
dvě po sobě jdoucí rotace kolem různých os. To není komutativní.
Cvičení: ukažte, že při použití ortogonálního systému os (OX, OY, OZ) kombinované
rotace kolem těchto os nejsou komutativní operací. Vezměte libovolný objekt.
- Proveďte rotaci +90°
kolem OX, poté rotaci +90° kolem OZ
Vraťte se k počátečním podmínkám
a:
- Proveďte rotaci +90°
kolem OZ, poté rotaci +90° kolem OX
Porovnejte výsledky.
Působení grupy.
...Grupa G je složena ze čtvercových matic g. Lze je násobit.
Řekneme, že grupa může působit na sebe sama.
Grupa také může působit na prostor složený z bodů, popsaných sloupcovými vektory.
Příklad:
(24)
Pokud napíšeme:
(25)
působení grupy
na tento prostor se stane:
(26)
g
x r
...V
tomto konkrétním případě se působení na prostor ztotožňuje s prostým násobením matic.
Ale pojem působení je mnohem obecnější.
