| 13 |
Galileovy grupy (grupy orientované v prostoročasu a úplné grupy).
Pro tuto grupu můžeme navrhnout různá jména.
GGSOTO (Galileo prostorově orientovaná a časově orientovaná)
nebo:
GSG (Speciální Galileova grupa).
Nebo prostě:
SG(3,1): Speciální Galileova grupa.
3 dimenze prostoru, 1 pro čas. Připomeňme, že jsme působení PT grupy zapsali takto:
(158)
Pak jsme přešli k nějaké grupě orientované v prostoru a čase. Podobně bychom mohli zapsat působení takové grupy:
(159)
Toto je podgrupa jemnější grupy:
(160)
„Galileova grupa orientovaná v prostoru a čase“. S:
(161)
Odpovídající působení je:
(162)
Toto je jednokomponentová (souvislá) grupa. Je to podgrupa úplné čtyřkomponentové Galileovy grupy:
(163)
která řídí symetrie P, T a PT:
(164)
a vyvstává také problém antichronních objektů (jak bude provedeno dále, ale na relativistickém základě).
Pohyby.
4d-geometrické objekty jsou „animované hologramy“. Ve 4d struktuře můžeme dělat řezy v po sobě jdoucích časech. Každý řez je 3d objekt složený z bodů
(xi,yi,zi).
Je to jednodušší, uvažujeme-li bodový objekt pohybující se v prostoročase. Pak se uvažovaná prostoročasová struktura stává drahami, pohybem.
...Rozhodneme se asimilovat částice fyziky na pohyby bodů. Buď to budou nějaké „hmotné body“, nebo bodová energie (fotony, neutrina).
...Můžeme uvažovat všechny možné pohyby všech možných částic a zahrnout je do
(165)
prostoru pohybů.
...V prostoročase můžeme najít všechny možné dráhy fotonů, protonů, neutronů, neutrin, antiprotonů a tak dále. Uvažujeme nekonečný počet možných poloh, rychlostí a dalších parametrů, které je třeba objevit. Mezi touto nekonečností drah jsou dráhy vztahující se k dané částici: například k elektronu. Jiné dráhy se vztahují k fotonu. Jsou různé. Tvoří dvě odlišné rodiny, dva
odlišné druhy pohybů.
Hledáme, jak klasifikovat částice. Pak hledáme, jak definovat druhy pohybů.
Použijeme metodu podobnou Eukleidově. Ústřední otázka je:
Které „objekty“ patří ke stejnému druhu?
...Odpověď: ty, které lze položit jednu na druhou působením prvků grupy, jež patří k nějaké podgrupě zvané pravidelnost takových objektů.
...V Eukleidově světě nemůžete přeměnit kouli na krychli a naopak. Patří k odlišným druhům. Neexistuje podgrupa, která by umožňovala přeměňovat koule na krychle a naopak.
...Podobně v nějaké grupě, která má být definována, neexistuje prvek patřící k nějaké podgrupě, který by umožňoval přeměnit pohyb fotonu na pohyb elektronu. Jsou zásadně odlišné, patří k odlišným druhům.
Pokud existuje prvek grupy, jehož působení přeměňuje jeden pohyb na jiný pohyb, pak tyto pohyby náležejí ke stejnému druhu. Jsou to dva různé pohyby téže částice.
...Nebudeme se zabývat systémy mnoha částic, jako jsou atomy či molekuly. Zaměříme se na analýzu volných částic pohybujících se v prázdném prostoru. Během tohoto pohybu se pak zachovává určitý počet parametrů (hmotnost, energie, další...).
Pouhé zkoumání prostoročasové dráhy částice však k její identifikaci a zařazení do definovaného druhu nestačí.
-
Proton a neutron mohou putovat po stejné dráze stejnou rychlostí.
-
Dvě částice mohou sledovat stejnou dráhu při v = c, ale jedna může být foton a druhá neutrino.
-
Jak uvidíme později, dva fotony sledující stejnou dráhu stejným směrem rychlostí světla mohou být různé. Jsou P-symetrické.
-
Jeden má pravou helicitu.
-
Druhý levou helicitu.
To odpovídá polarizaci světla. Patří k odlišným druhům? Záleží na grupě, kterou zvolíme.
Druh je relativní vůči dané grupě.
Hybnost.
...Pohyb je zvláštní volba, bod v prostoru hybnosti. Uvažujme pohyby druhů, jejichž jediným rozdílem je hmotnost. Vezmeme dva druhy. Částici, jejíž hmotnost je ma, nelze přeměnit na částici, jejíž hmotnost je mb. I když jejich trajektorie mohou být v prostoročase totožné, považujeme je za různé pohyby dvou odlišných druhů, čili:
dva odlišné druhy pohybů.
(166)
Hybnost je soubor parametrů:
J = { J1 , J2 , J3 , ........, Jn }
Jeden je energie
J1 = E .
Tři další:
( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
tvoří vektor impulsu p, všechny veličiny, které jsou fyzikům důvěrně známé.
...Tyto veličiny mohou vyvstat jako čistě geometrické veličiny přímo spojené se zvolenou grupou. Dále uvidíte, že počet veličin, které tvoří hybnost, se rovná dimenzi grupy.
...Jaká jsou tedy pravidla hry, kterou budeme hrát?
