| 14 |
Projekt.
...Naším výchozím bodem bude dynamická grupa G, tedy rodina čtvercových matic g.
...Dynamická: protože je zapojen čas.
...Tato grupa má určitou dimenzi n. Může působit na prostoru X, který má svou vlastní dimenzi (která nemá nic společného s dimenzí grupy; tato poslední je počet nezávislých parametrů definujících každou matrici g množiny, která tvoří grupu G).
...Nyní potřebujeme akci, abychom definovali prostor, na který grupa působí, jeho hybnostní prostor. Tento prostor není časoprostor, ve kterém se mají pohybovat částice. Sestrojení takového prostoru nás zavede do podivné země, která bude vypadat jako nějaká schizofrenická krajina. Ale pokud půjdete touto cestou, budete blíže k fyzikální realitě, než kdy jste byli dříve.
...Když budeme mít prostor, se kterým můžeme pracovat, a akci, kterou na něj aplikovat, budeme klasifikovat hybnosti-pohyby do druhů a identifikovat tyto druhy s elementárními částicemi.
...Výše jsme řekli, že součin grupy a vektoru, odpovídající SO(2) a O(2), stejně jako SO(3) a O(3), odpovídá akci:
g x r
tj.:
(166b)
Všimněte si, že to lze zapsat ekvivalentním způsobem:
(167)
Pro orientovanou Euklidovu grupu a úplnou Euklidovu grupu musíme zapsat akci:
(168)
Ale tyto akce, stejně jako odpovídající akce dynamických grup na prostoru, jako:
(169)
dávají ... nic. Pouze přenášejí objekty v prostoru, nebo časoprostoru, nebo v rafinovanějších prostorech (5-rozměrný prostor, 10-rozměrný prostor).
Musíme hledat něco „skrytého pod grupou“: její hybnostní prostor (všechny grupy matic jej mají) a její
ko-adjointní akci na jejím hybnostním prostoru.
což odpovídá reálné fyzice.
Co je fyzika?
...Dobrá otázka. Francouzský matematik Jean-Marie Souriau vymyslel koncept ko-adjointní akce grupy na jejím hybnostním prostoru a ukázal to na začátku sedmdesátých let. Následně bude tento koncept rozvinut.
...Samozřejmě, fyzik na konci výpočtu se zeptá:
Proč?
...Jinými slovy, funguje to, ale můžeme dát fyzikální význam tomuto konceptu ko-adjointní akce dynamické grupy na jejím hybnostním prostoru? Zdá se, že odpověď je ne.
...Představte si, že jste studentem Aristotela. Náhle máte intuici a vymyslíte nové slovo, abyste ji pojmenovali:
setrvačnost.
Aristoteles přijde. Byl varován jinými studenty, že jste vymysleli něco nového, a ptá se:
- Můžete nám vysvětlit, co znamená setrvačnost?
Budete neschopni to udělat pomocí Aristotelových slov. Setkali jste se s paradigmatickou změnou.
Přeskočte do středověku. Zkuste vysvětlit chemickou reakci slovníkem čtyř elementů. Také nemožné...
Ko-adjointní akce grupy na jejím hybnostním prostoru je paradigmatická změna. Je to nový pohled na fyziku.
Ve skutečnosti fyzikové pracují s grupovými akcemi neustále, když mluví o „invarianci“ a „zákonech zachování“.
Takový konvenční fyzik se zeptá:
- Můžete mi vysvětlit, co je význam ko-adjointní akce grupy na jejím hybnostním prostoru, v jednoduchých slovech, pokud je to možné?
Odpovídáme:
-
Proč používáte zákony zachování ve fyzice?
-
Ah... protože existují zachovávající se veličiny: energie, hmotnost, elektrický náboj...
-
Proč jsou zachovávány?
-
Ale, je to základní princip! ....
-
Můj drahý příteli, považujte ko-adjointní akci grupy na jejím hybnostním prostoru za základní princip.
-
Co tím myslíte?
-
Jakákoli fyzika je založena na grupové struktuře. Pokud identifikujete grupu, můžete sestrojit její ko-adjointní akci a odpovídající hybnostní prostor. Potom jsou složky hybnosti odpovídajícími fyzikálními veličinami.
-
........
Varování. Pokud jste fyzik (dokonce i teoretický fyzik...) a pokud čtete následující text, podstoupíte paradigmatickou mutaci. Potom bude fyzika jednoduše ... jiná.
Akce.
Co je akce?
Něco spojené s grupou, které dodržuje následující axiomy:
(170)
Samozřejmě, pro grupy matic je operační složení:
x
(line-column matricial multiplication)
Pro grupy matic můžeme zapsat:
(171)
Uvažujte sloupcový vektor:
(172)
kde x, pro příklad, reprezentuje vektory
(173)
Splňuje
(174)
axiomy akce? Nechť g a g' jsou dva elementy grupy G.
(175)
(175b)
Musíme mít:
Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
tj.:
(177)
pod asociativní vlastností:
(178)
g" = g x g'
je grupová akce.
...Všimněte si, že jsme element g grupy G umístili vlevo. Co se stane, pokud ho umístíme vpravo? Potom musí být kombinován s řádkovou maticí y.
(179)
Ag(y) = y x g
Je to akce?
