| 15 |
Potřebujeme:
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Ale:
Součin dvou matic
obecně není komutativní. Závěr:
(181)
Ag(y)
= y x g
není akce grupy:
Nevyhovuje výše uvedeným axiomům. Vyhovuje však jinému, který odpovídá
„antiakci“.
(182)
Pro matice:
(183
Stále hledáme
akce a antiakce. Z vektoru x můžeme sestavit transponovaný
a zkusit:
(184)
je to akce?
Pokračujme.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Zde použijeme větu lineárního počtu:
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
kde M a N
jsou libovolné (n,n) matice. Odtud:
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
a:
(189)
což je akce grupy. Uvažujme
nyní:
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Ukažte, že jde o akci.
Budeme uvažovat tyto tři matice.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Potřebujeme:
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Utvořme první člen:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
neboli:
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
tj.:
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
Je to akce grupy.
Budeme ji po Souriauovi říkat:
Adjungovaná akce:
(193)
Nyní budeme uvažovat antiakci grupy na matici m.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Ukažte, že splňuje:
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Utvořme první člen:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
neboli:
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
tj.:
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
neboli:
(199)
g" -1
x
m x
g"
