| 16 |
Potřebujeme:
Duální akce.
Výše jsme sestrojili akci:
(200)
anti-akci:
(201)
První se může vztahovat k libovolnému sloupcovému vektoru m:
(202)
m' = g xm
a druhá k libovolnému řádkovému vektoru n:
(203)
n' = n
x g-1
m náleží určitému prostoru M
n náleží jinému prostoru N.
Vytvořme skalár:
(204)
S = n m
Všimněme si, že:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Řekneme, že obě uvažované akce jsou duální. Podobně oba prostory M a N, jimž náleží m a n, jsou duální prostory:
N = M* nebo M = N*
Obvykle říkáme, že je-li m vektor, n je jeho kovektor.
Předpona ko je pro dualitu typická. Jak poznamenal Souriau, dualita existuje v politice a dodává:
- Dualita byla v marxismu-leninismu přítomna od počátku. Vzpomeňte na munistu a komunistu.
Zaujměme jiný úhel pohledu. Předpokládejme, že máme jednu akci a chceme sestrojit její duál.
Schematicky:
(206)
...Aby vznikl skalární součin se sloupcovým vektorem m, musí být n řádkový vektor. Pak tyto dva vektory musí být definovány stejným počtem skalárů:
(207)
poté hledáme duální akci:
(208)
n' = Ag(n)
tak, aby skalární součin:
(209)
byl invariantní. Musíme mít:
(210)
n' m'
= n m
Máme:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
jehož řešením je:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Směrem k sestrojení esenciální akce, neboli koadjungované akce grupy na jejím momentu (podle Souriaua).
Hledáme akci grupy na jejím „prostoru momentů“. Sestrojíme ji jako duál anti-akce:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...V předchozí části byl m vektor. Ale v (214) je to matice. Vezmeme matici, která závisí na určitém počtu parametrů:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Musíme si představit duální soubor skalárů:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
tak, aby:
(215)
Schematicky:
(216)
