| 17 |
Volba matice m.
...Grupa G lze porovnat s určitou plochou. Závisí na určitém počtu parametrů. Nechť P je tento prostor parametrů grupy a p je bod tohoto prostoru. Počet těchto parametrů pi je dimenze grupy.
(217)
Zobrazeno: neutrální prvek e (jednotková matice 1).
Můžeme zadat přírůstek d p:
(218)
...Poté derivujeme matici g, která je prvkem grupy. Získáme čtvercovou matici dg, která nepatří do grupy. Nazýváme ji „tečový vektor grupy“. Tyto tečové vektory tvoří to, co nazýváme „Lieova algebra“ grupy (která mimochodem není algebrou).
Zvolili jsme derivovat v okolí neutrálního prvku:
(219)
a zvolili následující antiakci:
(220)
AAg(m) = g-1 x dg(g=e) x g
Poznámka:
Proč volíme tečový vektor grupy v g = 1?
...Mohli bychom použít obecnější tečový vektor dg v libovolném bodě grupy. Dostali bychom stejný výsledek, ale výpočet by byl mnohem složitější.
Dimenze grupy je n. Matice g závisí na n parametrech { pi }.
Prvek Lieovy algebry dg(g=e) závisí na stejném počtu parametrů {d pi }.
Výpočet výše uvedené antiakci poskytne zobrazení:
(221)
{ d pi } -----> { d pp'i }
Zavedeme stejný počet skalárů:
{ J i }
Tuto množinu nazýváme momentum J grupy.
J = { J i }
Je to množina n veličin, n skalárů. Někdy ji můžeme vložit do matice (Poincarého akce na jejím momentu).
{ J i } je kotangentový vektor { d p i } k tečovému vektoru grupy. Dualita dává:
(222)
Z této zachování skalárního součinu, pokud známe zobrazení:
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
můžeme zkonstruovat duální zobrazení:
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
Toto je podstatná akce, kterou hledáme, a Souriau ji nazývá koadjointní akce grupy na jejím momentovém prostoru.
Nejlepší způsob, jak ilustrovat tento koncept, je uvést příklad:
Koadjointní akce Poincarého grupy na jejím momentovém prostoru Jp.
Výše jsme prezentovali zobecněnou Lorentzovu grupu. Zvolením:
(225)
dostaneme Lorentzovu grupu L, jejíž prvek L splňuje axiomtickou definici:
(226)
Prostorový vektor je
(227)
S c = 1 dostaneme elementární kvadratickou formu, Minkowského metriku:
(228)
Inverzní matice je
(229)
Nyní zavedeme prostorový posun:
(230)
konstruujeme prvek gp Poincarého grupy Gp následovně:
(231)
Cvičení: dokažte, že tvoří grupu, a vypočítejte inverzní matici:
(232)
Prvek Lieovy algebry je
(233)
a antiakce:
(234)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
Všimneme si, že
(235)
G d L
je antisymetrická matice. Nazveme ji:
(236)
odtud:
(237)
Nechť:
(238)
z toho můžeme zkonstruovat antiakci:
(239)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
která nám dá zobrazení:
(240)
(240b)
(240c)
je požadované zobrazení:
(241)
