| 18 |
...Prvek gp grupy Poincarého Gp je
definován množinou parametrů {pi}, jejichž
počet je, z definice, dimenze grupy. Matice dg
(g=e) je sestavena z množiny {dpi}
. Tak, aby předchozí zobrazení odpovídalo akci:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Pro zavedení duality
a konstrukci duálního zobrazení předpokládáme konstantnost skaláru:
(243)
Dimenze grupy
Poincarého je 10, odtud máme deset skalárů { Ji
}, složky momentu Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5
, J6 , J7 , J8 , J9 , J10
}
Rozhodujeme se rozdělit tento
objekt na dva objekty:
(244)
Jp= { M , P }
První, M ,
je antisymetrická matice (4,4).
P je čtyřvektor
(4,1)
(245)
Potom:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Zapišme skalární součin
jako:
(247)
Tr znamená stopu. Konstantnost
skalárního součinu dává
(248)
s:
(249)
(249b)
(249c)
ale GG = 1
. Potom:
(250)
(250b)
(251)
tj.:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Tato koadjointní akce může být zapsána v maticové formě:
Prvek grupy
Poincarého je:
(254)
Její transpozice je:
(255)
Uvažujme matici:
(256)
zapišme:
(257)
(258)
(259)
co bude identifikováno
s maticí:
(260)
Potom Jp
je moment grupy Poincarého, zapsaný v maticové formě, a koadjointní akce je:
(261)
Cvičení: ověřte, že
jde o akci.
Momentová matice
odpovídá:
(262)
Diagonála antisymetrické
matice M je tvořena nulami.
(263)
Závisí na šesti parametrech.
(264)
( lx , ly
, lz , fx , fy , fz )
Zapišme matici:
(265)
Poslední tři složky
( fx , fy , fz) tvoří to, co Souriau nazývá
vektor přechodu f :
(266)
První ( lx
, ly , lz) jsou nezávislé složky antisymetrické
matice (3,3), kterou Souriau nazývá spinová matice.
(267)
odtud:
(268)
Vektor P je
čtyřvektor hybnosti-energie:
(269)
Potom moment grupy
Poincarého může být explicitně zapsán v obecnější formě:
(270)
Má deset složek:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy
, fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
