| 19 |
Částice se spinem.
...Poincarého grupa popisuje relativistický pohyb bodového objektu. Podobně Bargmannova grupa popisuje nerelativistický pohyb. Složky momentu vznikají jako čistě geometrické veličiny. Je to geometrizace fyziky.
Fyzikové jsou obeznámeni s energií E a vektorem impulsu p. Ale dva další objekty – „přechod“ f a vektor spinu l – je mohou poněkud zmást. Forma složek momentu závisí na volbě souřadnic.
...Každá dynamická grupa má svůj momentový prostor a koadjungovanou akci na tomto momentovém prostoru. Kdybychom místo volby relativistického světa (Poincarého grupy) zvolili nerelativistický svět, museli bychom se odvolat na Bargmannovu grupu. Podrobnosti výpočtu viz mé přednášky o grupách.
Bargmannova grupa je netriviálním rozšířením Galileovy grupy:
(272)
Jak čtenář vidí, tato grupa působí na pětirozměrném prostoru:
r : prostor
t : čas
z : dodatečná proměnná.
...Tyto otázky dodatečné proměnné nebo dodatečných proměnných budou probrány dále. Na tomto webu byl výše podán úplný výpočet koadjungované akce Poincarého grupy. Bylo by také možné odvodit výpočet koadjungované akce Bargmannovy grupy na jejím momentu. Paradoxně je výpočet v nerelativistickém světě poněkud složitější než ten v relativistickém světě.
Výsledek je následující:
(273)
Fyzik identifikuje některé známé objekty, jako rychlost:
(274)
a kinetickou energii:
(275)
m v je impuls.
Rychlost vzhledem k čemu?
Grupa mění parametry pohybu, dává částici rychlost v a kinetickou energii E.
Můžeme zvolit opačnou interpretaci a považovat grupu za zvláštní úhel pohledu na něco, na částici.
Uvažujeme-li grupu SO(3), matice a, znamená to „viděno z jiného úhlu pohledu“.
Uvažujeme-li grupu O(3), matice a, přidává to možnost pozorovat „věc“ skrze zrcadlo.
Translační vektor
(276)
Eukleidovy grupy přidává „viděno odjinud“.
V dynamických grupách přítomnost rychlosti v v grupě znamená, že se pozorovatel pohybuje.
Časová translace e = Dt znamená, že pozorovatel vidí věc po určitém zpoždění.
Translační vektor Dr a časové zpoždění Dt lze spojit do vektoru časoprostorové translace:
(277)
Podívejme se na vzorce, z Bargmannovy grupy vidíme, že:
m' = m
Ať je úhel pohledu jakýkoli, hmotnost zůstává nezměněna.
Zjednodušme tento „úhel pohledu“ trochu volbou a = 1.
Koadjungovaná akce se stane:
(278)
...Koadjungovaná akce udává změnu parametrů pohybu. Uvažujeme-li, že přecházíme ze stacionární situace do nestacionární situace, počáteční podmínky odpovídají:
E = 0 ( nulová energie )
p = 0 ( nulový impuls, nulová rychlost )
„přechod“ f = 0
Koadjungovaná akce pak dává:
(279)
„Uvažovat“ je třeba číst v jeho etymologickém významu.
Soudní vykonavatel říká:
- Sepisuji protokol spolu s inventářem.
...Statické (v = 0) vidění věcí odpovídá Eukleidově grupě. Soudní vykonavatel pozoruje věci na dálku c. Pozoruje fakta v době, kdy se dějí (Dt = 0). Eventuálně se dívá z určitého úhlu (a různé od 1).
...Generál, přelétající bojiště v letadle, je jakýsi soudní vykonavatel, který pozoruje věci z pohyblivého úhlu pohledu (z letadla letícího rychlostí v).
...Ale generál ve svém velitelství, dívající se na film pořízený bezpilotním letadlem, dronem, o několik hodin dříve, říká:
- Uvažuji cíl tak, jak byl o hodinu dříve (nenulové Dt), viděný z pohyblivého bodu pozorování (nenulové v), z výšky pěti tisíc stop (nenulové c), letícího rychlostí v a snímajícího pod určitým úhlem (a různé od 1).
...Cíl nemá definovanou rychlost, ani polohu, ani orientaci, i když se předpokládá, že je to „pevná“ budova. Vše je relativní. Dokonce i Země, Slunce, naše galaxie se pohybují prostorem.
...„Severní pól“ Země se liší od „severního pólu Slunce“ o 23° a v čase se mění (26 000 let) v důsledku precese rovnodenností. Sever udávaný Sluncem (jeho vlastní osou rotace) není severem udávaným naší galaxií, Mléčnou dráhou, která má svůj vlastní rotační pohyb (odchylka 90°). Dokonce i galaxie se pohybuje, rychlostí tři sta mil za hodinu. Vzhledem k čemu? K ostatním. To je vše, co můžeme říci.
Grupa odpovídá dvěma různým úhlům pohledu.
...Pokud uvažuji, že objekt je stacionární, pevný v prostoru a čase a nemá žádný rotační pohyb, vše, co mohu říci, je:
- Pokud se vzdálím na vzdálenost c.
- Pokud věc pozoruji při plavbě rychlostí v.
- Pokud se ke mně informace přicházející z této věci připojí s časovým zpožděním Dt.
Vzhledem ke mně:
---> Hmotnost objektu se nemění.
----> Dávám objektu impuls mv, považovaný za zdánlivý.
-----> Objekt dostává „přechod“ f = m [ c - v Dt ]
----> Dostává spin
(279b)
Napišme to explicitněji:
(280)
(281)
(282)
nebo:
(283)
Tři nezávislé složky spinové matice l lze považovat za složky vektoru:
(283b)
...Ačkoli vektorový součin nebyl v našem prostoru definován, tj. nedali jsme prostoru orientaci pravý-levý, můžeme poslední výraz považovat za vektorový součin.
(284)
...Obrácené v označuje vektorový součin. Vidíme, že poslední řádek vzorců udávajících koadjungovanou akci odpovídá:
(285)
l je matice, nikoli vektor. Ale podle zvolené notace tučná písmena označují indiferentně matici nebo vektor.
Tento vektor začíná vypadat jako něco fyzikovi známého: kinetický moment.
