| 24 |
Speciální Galileiho
grupa.
...Čtenář najde toto rozšíření v knize Souriaua: Struktura dynamických
systémů, Birkhäuser Ed. 1997 a ve francouzštině Struktura dynamických
systémů, Ed. Dunod 1973.
...Grupa může být rozšířena. To znamená, že počet parametrů, na kterých
závisí, bude zvýšen. Vypočítejte počet parametrů, na kterých závisí
Galileiho grupa. Začínáme od matice rotace v 3D:
(322)
Je to ortogonální matice
:
(323)
tyto matice tvoří
grupy SO(3), která je podgrupou grupy O(3) složené ze všech ortogonálních
matic. Máme:
(324)
Připomeňme rozdíl s:
(325)
(325b)
jsou nejobecnější
ortogonální matice, jejichž determinanty splňují:
(326)
Konec této odbočky.
Následující grupa čtvercových
matic (5,5) bude nazývána speciální Galileiho grupa:
(327)
Matice rotace závisí na třech volných parametrech, Eulerových
úhlech. Takže dimenze grupy je deset.
Použitím notace:
(328)
dostaneme:
(329)
Přiřazené k vektoru časoprostoru:
(330)
takže příslušné působení speciální Galileiho grupy je:
(331)
...Je-li dána speciální Galileiho grupa, je možné vypočítat
působení grupy na jejím hybnostním prostoru. Výpočet zde nebude uveden.
Čtenář jej najde v mých přednáškách o grupách, dostupných.
Uveďme výsledek
:
(332)
Rozpoznáme hybnost p a energii E. Hybnost se skládá z:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...Deset
skalárních veličin. Deset dimenzí pro grupu. Stále máme vektor posunu f
a antisymetrickou spinovou matici l (složenou ze tří nezávislých
komponent lx , ly , lz , tvořících
„spinový vektor“).
Triviální rozšíření
speciální Galileiho grupy.
Následující matice tvoří
novou grupu.
(334)
Zavádí novou komponentu
f, skalár, „fázi“ (spojenou s kvantovým světem). Dimenze grupy se stává
10 + 1 = 11
Tato nová grupa
působí na pětidimenzionálním prostoru:
(335)
z je „dodatečná dimenze“. Poprvé ji zavedl Polák Kaluza
v roce 1921, poté J.M. Souriau v roce 1964 (Geometrie a relativita,
Hermann Editeur, nepřeloženo do angličtiny).
Zde opět lze vypočítat
příslušné koadjointní působení grupy na jejím hybnostním prostoru. Najdeme
toto:
(336)
Hybnost se stává
:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...Máme
další skalár m a identifikujeme jej s hmotností. Vidíme, že speciální
Galileiho grupa, působící na časoprostor, přináší energii, ale ne hmotnost,
jako komponentu hybnosti. V současnosti (prostřednictvím triviálního
rozšíření) naše částice získává dodatečnou vlastnost, která je velmi
libovolně identifikována s hmotností a která neinteraguje s ostatními
komponentami hybnosti.
