| 25 |
Netriviální rozšíření speciální Galileovy grupy.
Bargmannova grupa (1960)
Následující matice
(viz mé přednášky o grupách)
(338)
tvoří grupu, kterou objevil Bargmann v roce 1960. I zde působí na pětidimenzionálním prostoru. Její dimenze je 11, kvůli přítomnosti skaláru f. Jde o netriviální rozšíření speciální Galileovy grupy.
(339)
Pokud se vypočte koadjungované působení grupy na její moment, dostane se:
(340)
...Vidíme, že toto koadjungované působení je rafinovanější a že hmotnost interaguje s ostatními složkami momentu. To jsme analyzovali výše a ukázali, jak to přináší fyzikální význam složek momentu.
...Moment je pohyb dané částice. Bargmannova grupa popisuje nerelativistické pohyby. Můžeme uvažovat částici v klidu, bez energie, bez impulsu, bez spinu. Jen s nenulovou hmotností:
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Použijeme následující prvek Bargmannovy grupy:
(341)
Složky momentu se stanou:
(342)
...V soustavě souřadnic spojené s částicí je průchod f stále nulový. Ukázali jsme, že spinová matice se ztotožňuje s kinetickým momentem.
...Zde je důležité podívat se na triviální rozšíření speciální Galileovy grupy (proč „speciální“? To bude vysvětleno dále). Když se provede toto triviální rozšíření, přinese k momentu jen další skalár.
Rozšiřme Poincarého grupu:
Centrální rozšíření Poincarého grupy.
(343)
„ep“ znamená „rozšířená Poincarého grupa“. Lo je prvek ortochronní podgrupy Lo úplné Lorentzovy grupy L. Takže výše uvedený prvek můžeme považovat za ortochronní podgrupu Gepo úplné rozšířené Poincarého grupy, jejíž prvek je:
(344)
Obě působí na pětidimenzionálním prostoru:
(345)
( t , x , y , z , z ).
Lze ukázat, že toto rozšíření nemůže mít na prvním řádku nenulové členy, místo toho 0 = ( 0 0 0), mezi 1 a f.
...Jak ukázal J. M. Souriau, metoda geometrické kvantifikace (metoda Kostant–Kirilov–Souriau) přináší Schrödingerovu rovnici z Bargmannovy grupy a Kleinovu–Gordonovu rovnici z rozšířené Poincarého grupy (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Navíc toto centrální rozšíření grupy přidává k momentu další skalár (jako v triviálním rozšíření Bargmannovy grupy):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp představuje klasický Poincarého moment. Koadjungované působení na moment se pak jednoduše stane:
(347)
Výpočet není složitý a je podobný výše uvedenému. Vypočte se antiakce:
(348)
Dualita se pak vyjádří prostřednictvím stálosti následujícího skaláru:
(349)
...Takže dostaneme další skalár c, který je koadjungovaným působením právě zachováván. Dosud tento skalár nedostal žádnou fyzikální interpretaci. To vše objasníme v následujícím. Očividně můžeme grupu rozšiřovat, kolikrát chceme:
(350)
Pokaždé přidá další skalár
(351)
Jpe= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
a koadjungované působení se stane:
(352)
Čtenář řekne „no a proč nepřidáme 57 nových skalárů?“
Stačí přidat šest a tyto nové skaláry ztotožnit s
(353)
c 1 = q (elektrický náboj)
c 2 = cB (baryonový náboj)
c 3 = cL (leptonový náboj)
c 4 = cm (mionový náboj)
c 5 = ct (tauonový náboj)
c 6 = v (gyromagnetický koeficient)
Grupa působí na následujícím desetidimenzionálním prostoru:
(354)
( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z3 , z 4 , z 5 , z6 )
tj.: časoprostor plus šest dalších dimenzí.
(355)
Připomeňme, že tato grupa je sestavena z ortochronní podgrupy
Lo = Ln (neutrální komponenta) U Ls (provádějící prostorovou inverzi)
úplné Lorentzovy grupy L.
Moment se stane:
(356)
Jpe= { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp je část momentu odpovídající Poincarého grupě Gop (ortochronní podgrupa).
Jaký je fyzikální význam?
...Moment patří do prostoru, který je n-manifoldem. Poincarého grupa má deset dimenzí, takže Poincarého moment je složen z deseti veličin.
Pak přidáme ke grupě šest dalších dimenzí odpovídajících dodatečným fázím:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Moment se stane:
(358)
Jpe= { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Rozhodneme, že mezi množinou skalárů
(359)
Jp= { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
ztotožníme energii E, hybnost p, průchod f, antisymetrickou spinovou matici l.
...E a p mohou nabývat všech možných hodnot, ale kvantové argumenty ukládají stálost modulu s vektoru spinu (v soustavě souřadnic spojené s částicí), což zde není odůvodněno a odpovídá Souriauově práci.
Máme šest dalších skalárů:
(360)
J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Rozhodneme, že mezi nekonečnem možných voleb některé diskrétní volby odpovídají skutečným částicím (a antičásticím). Pak v 16-manifoldu odpovídajícím prostoru momentů vybíráme diskrétní pohyby odpovídající částicím s definovanými kvantovými čísly
(361)
{ q , cB , cL , cm , ct , v }
...Prozatím koadjungované působení grupy pouze zajišťuje zachování těchto veličin podél daných pohybů. Jsou to „pasivní kvantová čísla“, stejně jako se hmotnost objevila jako pasivní veličina, když vznikla z triviálního rozšíření speciální Galileovy grupy.
