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Collection : 1 J.P.Petit : 1998. — ce document en fait partie.
Sommaire
- Premier axiome des groupes.
- Troisième axiome de groupes
- Groupe des translations :
- Clichés obtenus à l'aide d'une chambre à bulles ( Schem..
- AAg(m) = g-1
- Construction de l'action coadjointe du groupe de Poincaré sur son espace des moments J
- g (g = e)
- passage f
- Particules à spin.
- F4110
- Le photon.
- Particules à spin de masse non-nulle.
- Les quatre composantes du groupe de Poincaré.
- Extension centrale du groupe de Poincaré.
- Retour sur la question du moment.
- F4116
- Application à ce qui est ci-dessus :
- Dissiper une idée fausse. Apporter des précisions.
- Pour étendre un peu le problème je pourrais aussi bien considérer que ces trajectoires sont ... n'importe comment :
- Des mouvements différents.
- Et l'antimatière ?
- Le premier groupe de Petit.
- F4123
- Prenons maintenant le groupe :
- Selon ce modèle, correspondant au 1° - groupe de Petit, en résumé :
- Le 'second groupe de Petit' ou 'groupe gémellaire'.
- En résumé :
- Les contenus des deux univers sont résumés dans les tableaux ci-après.
Premier axiome des groupes.
Troisième axiome de groupes
Groupe des translations :
Clichés obtenus à l'aide d'une chambre à bulles ( Schem..
AAg(m) = g-1
Construction de l'action coadjointe du groupe de Poincaré sur son espace des moments J
g (g = e)
passage f
Particules à spin.
Particules à spin.
Le groupe de Poincaré décrit le mouvement relativiste d'un objet ponctuel. Semblablement, le groupe de Bargmann, dont l'expression sera donnée plus loin, décrit le mouvement non-relativiste d'un objet ponctuel, qu'on appelle alors "point-masse".
On voit donc que cette technique, le calcul de l'action coadjointe du groupe sur on espace des moments, a permis de faire émerger des éléments caché, des attributs de l'objet : les composantes du moment .
Ce qui est remarquable c'est que cette démarche, due à Souriau, fait apparaître les objets clefs du physicien en tant qu'objets purement géométriques. Il a donc réalisé là un travail sans précédent degéométrisation de la physique .
En dehors de l'énergie et de l'impulsion, des autres composantes, le "tournoiement" et le "passage" déconcertent passablement le physicien. Quès aco ?
L'expression des composantes du moment dépend évidemment du système de coordonnées choisi.
Le plus simple est sans doute de faire un bref retour au non-relativiste, autrement à l'expression de l'action coadjointe, telle qu'elle aurait émergé de l'analyse du groupe de Bargmann.
(111)
Formule mystérieuse. A quoi cela sert-il ? Comment cela fonctionne-t-il ?
Dans cet encadré ci-dessus le physicien aura reconnu quelques objets familiers :
(112)
ne sont que deux expressions du vecteur vitesse { vx , vy , vz } la première sous forme d'une matrice colonne et la seconde sous la forme d'une matrice-ligne. Le produit des deux matrices est un scalaire :
(113)
quelque chose qui commence à ressembler à une énergie cinétique.
mvc'est une impulsion.
Le physicien traditionnel, s'agissant de la dynamique d'un point matériel, ne connait que trois choses :
- La masse m - L'impulsion mv- L'énergie cinétique 1/2 mv2
Oui, mais vitesse* par rapport à quoi* ?
Un groupe, c'est aussi un regard sur les choses. On peut alors soit considérer qu'on transporte, à l'aide du groupe, des objets (comme on l'a vu avec le groupe d'Euclide), vis à vis d'un observateur supposé fixe, soit, l'objet étant fixe, qu'on l'observe autrement.
Si on retient ce déplacement, ce transport des objets, s'agissant des *groupes dynamiques *, ceux de la physique (par opposition au groupe d'Euclide où le temps n'apparaît pas) on devra dire aussi qu'onanimeles objets, en leur conférant vitessevet énergie E .
Si on adopte le point de vue inverse : considérer que l'objet est fixe et envisager de se déplacer, soi,quel sens donner aux groupes ?
Le groupe d'Euclide signifierait alors :
"Vu d'ailleurs et sous un autre angle".
"L'ailleurs" c'est le vecteur translation :
(114)
Le "vu sous un autre angle" c'est la matrice de rotationa, une rotation dans l'espace (que l'on pourrait expliciter avec les angles d'Euler, ce que nous ne ferons pas).
S'agissant de groupes dynamiques, ce regard, ce point de vue sur les "choses" doit être enrichi. Restant dans le contexte du groupe de Bargmann, le fait d'introduire cette vitessevsignifie qu'en plus, l'observateur, qui observe ce point-masse d'ailleurs (vecteur-translationc), sous un autre angle (matrice de rotationa), est aussi animé, par rapport à ce point masse supposé immobile, d'une vitessev.
Et, pour être complet, pour corser le tout, il n'évolue pas dans le même temps que la particule, le point masse observé. Il est décalé par rapport à lui d'un laps de temps Dt. Autrement dit; il l'observe d'ailleurs, mais c'est un ailleurs spatio-temporel, correspondant au vecteur translation spatio-temporelle :
(115)
En ayant pris un tel "recul", par rapport à ce point-masse, qu'est-ce que je constate ? Primo que : m' = m
Cela n'affecte pas sa masse. Je peux me simplifier la vie en annulant la rotation. C'est déjà assez compliqué d'observer un point masse d'ailleurs, vu d'un autre temps, décalé, juché sur un skate-board animé d'une vitessev. Est-il en plus absolument indispensable de se tordre le cou ?
Non. Faisonsa=1.
mais on omet en général ce détail dans les calculs. L'action coadjointe, ainsi particularisée, devient : (117)
Considérer doit être pris ici dans son sens étymologique. Qu'est-ce que je fais quand je considère une situation, le ciel, un champ de bataille, le film pris par un avion-espion ?
Un huissier écrira : - Considérant l'état des lieux.....
Vision statique, correspondant au groupe d'Euclide. L'huissier observe les objets à une distancec, au même moment (Dt = 0), en principe immobile (v= 0). Les cas échéant sous un angle particulier, sous "un certain angle".
Un général, se promenant dans un avion de reconnaissance est une sorte d'huissier qui se déplace (v# 0).
Mais un chef d'Etat-Major qui visionne le film pris par un avion-espion, un "drone", est face à une situation décalée dans le temps. Il est obligé de se dire : - Considérons la cible, vue depuis tel point, en virage incliné, à telle vitesse, et de plus telle qu'elle se présentait deux heures plus tôt...
La cible n'a pas de vitesse propre particulière. On ne saurait la considérer comme fixe, même si c'est "une installation fixe". Même la Terre se déplace, le Soleil aussi, la galaxie, etc.
F4110
Tout ce que je peux dire c'est : - qu'en m'éloignant de la "cible" d'une distancec. - en l'observant en me déplaçant moi-même à une vitessev. - en étant, par rapport à cette cible, décalé d'un laps de temps Dt
Par rapport à moi : --- Je n'ai pas fait varier sa masse m. --- Je l'ai dotée d'une impulsion mv( quantité de mouvement). ---- Je l'ai dotée d'un passage m [c-vDt ] ---- et d'un tournoiement : 
Explicitons celui-ci :
(118a)
(118b)
(118c)
ou :
(118d)
On peut considérer les trois composantes indépendantes de la matrice tournoiementlcomme celles d'un vecteur. Celui-ci s'écrit alors :
(119)
Bien qu'on n'ait pas défini le produit vectoriel dans notre espace, c'est à dire qu'on ne lui a pas conféré d'orientation droite-gauche, on peut considérer cela comme un produit vectoriel :
(120)
le v à l'envers désignant le produit vectoriel. On voit que la dernière ligne des formules donnant l'action coadjointe sur le moment correspond à : (121)
létant une matrice et non un vecteur ( mais, dans nos notations, les lettres grasses désignent indifféremment les uns et les autres, le maigres se référant aux scalaires).
Ce vecteur produit vectoriel commence à ressembler, pour le physicien, à quelque chose de connu : le moment cinétique .
On prend une particule, on s'en éloigne decet on l'observe en circulant à la vitessev. Tout se passe comme si c'était l'inverse: que la particule soit éloignée d'un observateur supposé fixe et se déplace à une vitessev.
(122)
Reste le "passage"f= m [c-vDt ]
Il s'annule en faisant simplementc=vD t , c'est à dire en reliant la vitessevet la translation spatio-temporelle :
(123)
Reprenons l'expression du moment issu du groupe de Poincaré, exprimé dans un système de coordonnées où le passage soit nul :
(124)
Une particule, c'est un choix particulier effectué dans le moment. Ceci étant, des changements de coordonnées permettent de faire disparaître le passagefet de ramener les composantes du tournoiementlet de l'impulsionPà une seule composante (mouvement en z) :
(125)
L'objet décrit par le groupe de Poincaré possède donc a priori :
- Une énergie E - Une impulsion P - Un tournoiement propre l
Le tournoiement c'est une masse, multipliée par une longueur, le tout multiplié par une vitesse. Ca a donc la dimension M L2 T-1 de la constante de Planck h.
La méthode de quantification géométrique , développée par Souriau (voir Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973) permet de montrer que ce tournoiement doit être proportionnel à : (125b)
par valeurs demi-entières. C'est à dire soit l'unité (photon), soit 1/2 pour les autres particules comme l'électron, le proton, le neutron, les neutrinos, et leurs antiparticules.
Le photon.
Le photon.
On s'aperçoit qu'on obtient alors deux types de photons :
(126)
Un photon "droit" (polarisation droite) et un photon "gauche" (polarisation gauche), qui diffèrent par leur hélicité. Deux photons qui cheminent dans la même direction (OZ), à la vitesse c, et ont la même couleur (leur énergie E).
Pour un photon, l'énergie E et l'impulsion p ne sont par ailleurs pas indépendantes.
(127)
E = h n
ce qui nous donne :
(128)
En dehors de ces caractéristiques (énergie, direction de propagation, hélicité) le photon n'en a point d'autre. Il ne possède aucune "charge", si on veut, "toutes ses charges sont toutes nulles", ce qui fait de lui l'identique de son anti-particule (plus zéro étant identique à moins zéro).
Les neutrinos.
Considérées comme des particules de masse nulle (ce qu'ils sont, jusqu'à preuve du contraire) ils ont des matrices-moments identiques à celles des photons, à cette différence près que le spin est moitié : (128b)
(129)
Les neutrinos, cheminant à la vitesse c, possèdent une impulsion -énergie, un spin, également quantifié, quoiqu'il soit différent de celui du photon. Le neutrino possède également une hélicité. Il y a des neutrinos à polarisation droite et des neutrinos à polarisation gauche.
Mais on sait qu'il existe en outre trois types différents de neutrinos, ce que le groupe de Poincaré ne fait pas apparaître et ne peut faire apparaître (il nous faudra le modifier dans ce qui suivra pour faire apparaître, géométriquement, le charges des différentes particules).
Ceci étant les neutrinos sont de trois types :
- électronique - muonique - tauonique
c'est à dire qu'on peut leur conférer trois types de charges :
e = électrique = +/-1 ( +/-; la "charge unitaire"). cm = charge muonique = +/-1 cn = charge tauonique = +/- 1
On appelle aussi cette inversion du signe des charges une conjugaison des charges ou une C-symétrie.
Les trois types de neutrinos doivent donc être associés aux anti-neutrinos correspondants :
(130)
Mais cette distinction, à la fois sur les nombres quantiques, les charges, et sur les dualité matière-anti-matière n'est pas non plus inscrite a priori dans le groupe de Poincaré.
Particules à spin de masse non-nulle.
Les quatre composantes du groupe de Poincaré.
Extension centrale du groupe de Poincaré.
Retour sur la question du moment.
F4116
Application à ce qui est ci-dessus :
Dissiper une idée fausse. Apporter des précisions.
Pour étendre un peu le problème je pourrais aussi bien considérer que ces trajectoires sont ... n'importe comment :
Des mouvements différents.
Et l'antimatière ?
Le premier groupe de Petit.
F4123
Prenons maintenant le groupe :
Selon ce modèle, correspondant au 1° - groupe de Petit, en résumé :
Le 'second groupe de Petit' ou 'groupe gémellaire'.
En résumé :
Les contenus des deux univers sont résumés dans les tableaux ci-après.
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