skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 1 |
|---|
...Vše, co bude následovat v této oblasti, se bude točit kolem skupin. Lze představit tento část zjednodušeně, aniž bychom vytvořili úplný kurz o skupinách? Navíc, jaký je vztah mezi skupinami a částicemi? Pro začátečníka to všechno zní velmi záhadně.
...Nejprve, co je to skupina? V následujícím bude jednoduše rodina čtvercových matic typu (n,n). Operace, kterou je možné jejich vzájemným působením provádět, je maticové násobení (řádek-sloupec).
Všechny tyto rodiny matic budou vždy obsahovat neutrální prvek typu:
...
Skupina zřejmě splňuje axiomy Sophuse Lieho. Axiomy skupin jsou obecnější než axiomy matic, ale pro nás budou existovat pouze čtvercové matice, spojené s operací složení, která je klasickým řádkovým-sloupcovým násobením, označovaným jako x.
1 – První axiom skupin. Existuje operace složení, která umožňuje složit dva * prvky* množiny, a tato operace složení je vzhledem k této množině vnitřní, tedy v případě maticového násobení:
Buďte g1 a g2 prvky množiny čtvercových matic G. Jejich složením získáme čtvercovou matici:
g3 = g1 x g2
Je nezbytné, aby matice patřila do množiny G a byla stejného typu, tedy:
... Řeknete mi: „Čtvercové matice typu (2,2): dvě řádky, dvě sloupce, nebo (5,5): pět řádků, pět sloupců splňují tento požadavek, protože g3 = g1 x g2 je matice stejného typu.“
Ale tato množina je ... příliš rozsáhlá, příliš neurčitá. Nic z toho nezvládnete a v žádném případě nebude vhodná pro fyziku. Navíc nepředpokládáme splnění následujících axiomů. Viz dále.
Uveďme jednoduchý příklad množiny matic s jedním parametrem a, která tvoří skupinu:
Složme dvě matice tohoto typu:
nebo:
g(a) x g(b) = g(g) = g(a + b)
Výslednou matici lze zapsat jako:
Je to skutečně stejného typu jako g1 a g2. Tedy:
Protipříklad. Zvažme jinou rodinu matic s jedním parametrem a:
Složme dvě matice tohoto typu:
Získaná matice není typu (5). Jak by řekl Magritte: „Tohle není skupina.“ Stačilo změnit jeden znaménko.
2 – Druhý axiom skupin:
Musí existovat neutrální prvek, označovaný jako e, takový, že:
g „složené“ s e = e „složené“ s g = g
... U čtvercových matic je tento neutrální prvek vždy jednotková matice, označovaná jako 1, s tučným písmem: od nynějška budeme všechny matice a obecně všechno, co není skalár, značit tučně, zatímco skaláry budou značeny tenkým písmem. To by se psalo za těchto podmínek:
g x 1 = 1 x g = g
V našem příkladu:
Pozorujme navíc, že: