skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 2 |
|---|
3 – Třetí axiom skupin: Každý prvek musí mít inverzní prvek, označovaný g⁻¹, definovaný vztahem:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
V našem příkladu to znamená:
tj. b = –a nebo:
g⁻¹(a) = g(–a)
...Zde bylo výpočet inverzní matice zřejmý. To ale není vždy takto jednoduché, daleko od toho. Co je tedy potřeba, aby každá matice z uvažované množiny měla inverzi, byla tedy invertibilní? Je třeba a stačí, aby její determinant byl nenulový (odkazujeme čtenáře na jeho kurz lineární algebry). Věta říká, že determinant součinu matic je roven součinu determinantů těchto matic. Definice determinantu zaručuje, že determinant diagonální matice je roven součinu jejích prvků. Například:
Důsledky: determinant každé jednotkové matice 1 je roven 1. Proto:
det(g) × det(g⁻¹) = 1 ≠ 0
důsledek: matice s nulovým determinantem nemůže mít inverzi, což by bylo v rozporu s definicí. Navíc:
4 – Čtvrtý axiom skupin: Operace skládání musí být asociativní:
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
To je vždy splněno...
Rozměr skupiny:
...Krátce o rozměru skupiny (maticové), který nemá nic společného s hodností matic, které ji tvoří, ani s počtem veličin tvořících „prostor, na kterém skupina působí“ (např. dvourozměrný prostor (x,y) nebo čtyřrozměrný časoprostor (x,y)).
...Máme zde příklad rodiny čtvercových matic s jedním parametrem a, která se ukázala být skupinou. Později najdeme skupiny složené z čtvercových matic určených n parametry: šesti, deseti, šestnácti, jakýmkoli počtem.
Počet parametrů potřebných k definici čtvercových matic skupiny bude nazýván rozměrem skupiny.
Máme zde tedy skupinu tvořenou rodinou matic s jedním parametrem a. Rozměr této skupiny je 1.
Poznámka na okraj:
Poznámka:
...Skupiny, a zejména ty, které nás zajímají, nejsou automaticky komutativní. To je spíše výjimka. Naše ukázková skupina je komutativní:
...Uznáme v této skupině matice rotací v 2D kolem pevné osy. V „konkrétním“ případě je tato operace „zřejmě komutativní“. Otáčení kolem osy:
- nejprve o úhel a, poté o úhel b
nebo:
- nejprve o úhel b, poté o úhel a
vede ke stejnému výsledku.
Řeknete mi: „To je normální. Skupiny rotací jsou zásadně komutativní.“
...To není pravda. Je to vlastnost 2D. Ve 3D to už neplatí. Zvažte speciální skupinu tvořenou množinou rotací kolem tří navzájem kolmých os (OX, OY, OZ).
Cvičení: ukážete, že při použití předmětu a provedení:
-
nejprve rotace o +90° kolem OX
-
poté rotace o +90° kolem OZ
a pak stejných rotací v opačném pořadí, nedosáhnete stejného výsledku. Tato operace není komutativní.
Akce skupiny.
...Skupina G je tvořena množinou čtvercových matic. Už teď můžeme uvažovat, že působí na sobě samé (viz dále axiomy definující akci skupiny, zásadní koncept).
...Naše ukázková skupina může také působit na bodech „2D prostoru“. Řekneme, že je otočí. Skupina je určena k přenášení, ale co přesně se má přenášet?
...No právě, to není podstatné. Cituji své dílo „Gramatika přírody“ a řeknu spolu s J.M. Souriauem:
Způsob přenosu je důležitější než to, co se přenáší.
V případě naší ukázkové skupiny matice působí na 2D prostoru (x,y), a můžeme zapsat odpovídající akci:
Pokud označíme (sloupcovou matici):
pak akce lze jednoduše zapsat jako:
g × r
...V tomto konkrétním případě akce naší skupiny na prostoru (x,y) odpovídá maticovému násobení. Chceme však ukázat, že jde pouze o speciální případ a že pojem akce, zásadní v fyzice, je mnohem obecnější.