skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 3 |
|---|
Skupina translací:
...Zvažme dvourozměrný prostor (x,y). V tomto prostoru odpovídá translace dvojici skalárů (Dx, Dy) a zvykem píšeme
x' = x + Dx y' = y + Dy
Používáme pak sčítání. Mohli bychom se ale pokusit kódovat translaci pomocí ... násobení?
Zvažme matice:
a grupovou akci:
Všimněme si, že nejde již o jednoduché maticové násobení
g x r
ale o grupovou akci:
Můžeme zároveň zvážit translace ve třech, čtyřech a více dimenzích:
Příslušná grupová akce je pak:
...Kromě toho je skupina translací komutativní a neutrálním prvkem je „nulová translace“. Ve 3D má skupina rozměr tři, ve 4D je to čtyři.
Význam maticových skupin. Příklad: Eukleidovská skupina.
...Výhodou maticové skupiny je možnost zároveň řešit několik různých věcí, které se dříve zdály být zcela odlišné, například rotace a translace. Stačí zvážit matice:
a působení elementární matice skupiny na sloupcový vektor, abychom zjistili, že to odpovídá kombinaci rotace o úhel a a translace podle vektoru (Dx, Dy).
...Jak vidíme, matice g nepůsobí „přímo“ na body (x,y) tohoto dvourozměrného prostoru, ale prostřednictvím takzvané „grupové akce“, která splňuje určité axiomy.
...Takže skupina „působí“ a „přenáší“, v tomto případě body. Jedná se o Eukleidovskou skupinu. Svým působením na dvourozměrný prostor (x,y) je určena třemi parametry. Je to g (a, Dx, Dy): rozměr této skupiny je 3. Konkrétně:
g (0, Dx, Dy) představuje podskupinu translací.
g (a, 0, 0) představuje podskupinu rotací kolem počátku.
g (0, Dx, 0) je podskupina translací rovnoběžných s přímkou (osa OX).
...Eukleidovská skupina přenáší body, které samy o sobě nemají žádné vlastnosti (na rozdíl od dynamických skupin, které jednoduchému „hmotnému bodu“ přisuzují „vlastnosti“ jako hmotnost, energii, hybnost, spin).
...S Eukleidovskou skupinou musíme zvažovat množiny bodů. Jako kdyby v chemii atomy nebyly odlišné a pouze geometrie molekulárních uspořádání nesla informaci. ...Geometrické útvary, trojúhelník (považovaný za množinu tří bodů nebo tří úseček), čtverec (považovaný za množinu čtyř bodů nebo čtyř úseček) mohou být přenášeny touto skupinou. Zde vstupuje základní myšlenka druhu. Dva „objekty“ budou považovány za stejného druhu, pokud existuje prvek skupiny, který je přenese jeden na druhý.
Vzhledem k Eukleidovské skupině tvoří čtverce se stejnou délkou strany a jednu skupinu:
Čtverce stejného druhu.
...Pokud jsou délky stran a a b různé, tyto objekty nejsou stejného druhu. Neexistuje prvek skupiny, který by umožnil přechod z jednoho na druhý. Vzhledem k Eukleidovské skupině
tyto čtverce nejsou stejného druhu.
Eukleidovská skupina nepřipouští homotetie. Pro jejich řešení bychom museli přejít k jiné skupině, k Descartově:
skupina s čtyřmi parametry g (l, a, Dx, Dy), kde l je koeficient homotetie. Rozměr této skupiny je tedy 4.
Z toho si dobře představíme, že může existovat Eukleidovská skupina působící na objekty v třech dimenzích.
...Není to cílem se pustit do úplného kurzu o skupinách, ale jen pocítit některé myšlenky. Co je zoologie? Věda zabývající se studiem zvířat a jejich tříděním. Pokud se omezíme pouze na tvar, Eukleidovská skupina umožňuje třídit dospělé králíky. Pro třídění králíků různých velikostí bychom museli použít Descartovu skupinu, protože neexistuje prvek Eukleidovské skupiny (3D), který by umožnil přechod od malého králíka k velkému.
...Usmíváte se? Mýlíte se. Možná ve vašem bytě nebo domě máte nějaké miminko v procesu učení, které si hraje v rohu. Dali jste mu klasickou hračku, do které se snaží vložit tvarové dílky: válce, krychle nebo jehlan s trojúhelníkovou základnou.
...Co právě dělá? Seznámení s Eukleidovskou skupinou v 3D. Třídí objekty podle druhu, což mu později umožní jejich rozpoznání a „rozeznávání tvarů“.
...I když mají různé barvy, dítě zjišťuje, že existují grupové akce (přesuny těchto objektů v 3D prostoru), které umožní převést válec A a válec B do shody pomocí výřezu ve tvaru tohoto válce nebo jehlanu: vstup do komory ve své třídící krabici. Tak se naučí, že tyto válce A a B, vzhledem ke kritériu tvaru (Eukleidovská skupina), patří do stejného druhu.
