skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 4 |
|---|
...Všimněme si při cestě, že systém nabídnutý dítěti není bezchybný. Funguje správně pouze tehdy, když jsou k dispozici předměty, které byly prodány spolu s hrou. Všimněme si, že oddíl „ válce“ umožňuje vložit válce stejného poloměru, ale různé délky, stejně jako kancelářské svorky, prsítko, klíč od zámku atd...
...Logicky, dítě, které prochází tímto učením o skupinách, může usoudit, že klíč od zámku a válec jsou předměty stejného druhu. To je pravda v tom smyslu, že tyto předměty sdílejí společnou vlastnost „vkládá se do toho otvoru“.
...Moje dcera, když byla mnohem mladší, prováděla velmi zajímavé experimenty s grupami, kdy jako vstupní okno, jako síto, použila vstupní otvor mého počítače. Pro obnovení jejího postupu, který byl v podstatě logický, bylo nutné úplné rozložení po vypnutí. Dnes je stále silně přitahována skupinami. Ale nejsou to stejné skupiny a tyto volby mi nejsou moc příjemné.
...Vraťme se k našemu chlapci z předchozího příběhu. O několik měsíců později budete toho samého chlapce seznámit se skupinou Galilea, když budete házet předměty a povzbuzovat ho, aby je chytil. Pak už není důležitá forma předmětů, důležité jsou jejich pohyby. Měníme skupinu. Pro miminko se předmět (dostatečně malý, aby ho mohlo chytit) stává ekvivalentním svému těžišti. Je to „hmotný bod“, „hmotný částice“. Skupina Galilea řídí dynamiku hmotných částic.
Třídění se pak provádí podle typů pohybů.
-
Tohle mohu chytit.
-
Tohle nemohu chytit.
...Při odhadu počátečních podmínek, polohy a rychlostního vektoru, dítě musí rozpoznat typ pohybu, s kterým se potýká, a předvídat.
...Když bude velký, možná bude hrát tenis, vždy opět využívající skupinu Galilea, která, stejně jako eukleidovská skupina, je čtvercová matice. Protože tenisové míče se pohybují rychlostmi zřejmě mnohem nižšími než rychlost světla, nebude mu nutné používat skupinu Poincarého (jež je také čtvercová matice, která řídí relativistický pohyb hmotných částic).
...Přesto však hmotné částice řízené skupinou Galilea již nejsou body eukleidovské skupiny, mají atributy. Odborník na matematickou fyziku, který pracuje se skupinou Galilea, již nemluví o hmotných částicích, ale o pohybech. To, co hledá, jsou pohyby. Pak narazíme na zásadní aspekt fyziky elementárních částic: hledáme jim přiřadit fenomenologické popisy:
Řekni mi, jaký je tvůj pohyb, řeknu ti, kdo jsi.
...Není už důležité „z čeho je částice složena“, ale jak se chová. Například neutrální částice se chovají jinak než nabitá elektricky. Patří do různých druhů. Mají různé atributy.
...Naše miminko, stávající se fyzikem vysokých energií, možná denně zkoumá snímky z bublinové komory.
Snímky získané pomocí bublinové komory (Schem..) ...Levý snímek: proton, neutron a elektron prošly polem komory. Komora je vystavena magnetickému poli kolmému k rovině obrázku. Neutron, který nemá elektrický náboj, na to nebere ohled. Půjde přímo. Nabité částice mají velmi různé poloměry kruhového pohybu (Larmorův poloměr). Lehké elektrony se v magnetickém poli kolmém k jejich trajektorii otočí mnohem více než těžké protony. A oba se otočí v opačném směru.
Soubor pohybů v magnetickém poli řízený...
Ale tato skupina ještě neexistuje. Pokud byste ji objevili, udělali byste šťastné.
...Nicméně našemu muži, který zkoumá své snímky, se zdají být dráhy patřící do různých skupin pohybů.
-
Tohle jde přímo, je to neutron.
-
Tohle se pomalu otočí doprava, je to proton.
-
Tohle se rychle otočí doleva, je to elektron.
...Pravý snímek: elektron a antielektron, které vznikly z téhož záření (čárkovaně), mají symetrické dráhy, což ukazuje, že mají opačné elektrické náboje.
Chování druhů tříděných jako soubory pohybů.
Moment.
...Tento čistě geometrický objekt lze považovat za soubor atributů. Nechme stranou nabité částice, o nich se později vrátíme. „Relativistický hmotný bod“ má atributy seskupené podle toho, co matematik Jean-Marie Souriau, přední odborník na matematickou fyziku, označil jako moment spojený s Poincarého grupou.
Atributy relativistického hmotného bodu jsou:
-
Energie E
-
Hybnost p – Otáčení l (související s spinem)
-
Procházení f
„Moment“ je tedy:
**J **= { E , p , **l **, **f **}
Poznámka na okraj:
...Od této chvíle budeme v celém následujícím textu označovat skalární veličiny tenkými písmeny a neskalární (čtvercové matice, řádkové a sloupcové matice) tučnými písmeny.
...Poznámka: můžeme tak provádět všechny maticové násobení řádek-sloupec s použitím tenkých nebo tučných písmen, což je velmi praktické. Uveďme příklad. Akce prvku eukleidovské skupiny 2D se zapisovala jako:
Zavedením:
dostaneme kompaktnější zápis:
g se pak prezentuje jako matice složená z podmatic:
-
a je čtvercová matice rozměru (2,2).
-
c je sloupcový vektor (translační vektor) rozměru (2,1).
-
0 je řádkový vektor rozměru (1,2):
Obecně jsou tučné 0 indiferentní buď k řádkovým, nebo ke sloupcovým vektorům.
Akce se pak zapisuje jako:
Protože a r znamená a x r (ale zvykne se zanedbat značku násobení matic).
Konec poznámky, návrat k tématu momentu. Vraťme se k výrazu momentu v případě relativistického hmotného bodu.
**J **= { E , p , **l **, **f **}
E je skalár (energie).
**p **je vektor hybnosti.
l a **f **(tučná písmena) jsou další vektory (lx,ly,lz) a (fx,fy,fz): „otáčení“ a „procházení“.
...V průběhu osobních prací, které představíme na tomto podwebu Geometrická fyzika B (dynamické skupiny fyziky), bude problémem právě vytvořit další „atributy“ elementárních částic jako součást bohatšího momentu (náboje: elektrický, baryonový, leptonový, tauonový a gyromagnetický koeficient).
...Právě Souriau ve dvacátých sedmdesátých letech vybudoval metodu, která umožňuje odhalit složky momentu hmotného bodu z jeho řídící skupiny (v relativistickém případě jde o Poincarého skupinu). Viz kniha: Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973
Silně doporučováno.
...Je těžké jít dál bez použití rozsáhlého nebo komplikovaného matematického nástroje. Možná to provedeme později na webu, pokud se najdou příznivci, ve stylu „Vše, co jste kdy chtěli vědět o skupinách, aniž byste se odvážili zeptat“.
