skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 5 |
|---|
Čtvercová matice řádu (n,n) působí na sloupcový vektor (n,0). Už jsme viděli, že eukleidovská grupa 2D, odkazující na prostor (x,y), nevyžaduje akce na sloupcových vektorech:
(51)
ale na sloupcové vektory:
(52)
Což představuje příklad akce grupy na prostoru X s x ** X **. Existuje nekonečně mnoho možných akcí, ať už jen grupa na sobě samotné. Akce jsou definovány axiomy.
(53)
Uvažujme sloupcový vektor:
(54)
kde x například značí vektory:
(55)
(56)
splňující axiomy grupové akce. Můžeme nyní provést levou násobení čtvercové matice představující prvek grupy s řádkovou maticí y, a ptát se, zda je to také akce.
(57) Ag(y) = y x g
Odpověď zní ne. Toto není grupová akce: nesplňuje uvedené výše axiomy. Je to tedy to, co jsem rád nazýval „antiakcí“, která se řídí následujícími „antiaksiomy“:
(58)
Matematik by řekl, že není třeba uvádět tyto „antiakce“ a že existuje jen jedna sada axiomů. Ano, samozřejmě. Stejně tak to, co se považuje za antiakci:
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
kde m je daný vektor, „antiakce prvku g grupy G na matici m“, přičemž g⁻¹ značí inverzní matici, lze chápat jako akci prvku g⁻¹.
Stejně tak je antiakce jen duální k akci. Řekněme, že mi to přišlo praktické zavést tento koncept z didaktických důvodů.
Z čtvercové grupy matic závislých na n parametrech pi lze vytvořit matice diferencováním všech těchto parametrů podle: dpi. Matice takto získané, plné prvků dpi, nevytvářejí grupu, ale tzv. „tečný vektor ke grupě“: d**g **(její „Lieova algebra“, která ve skutečnosti není opravdovou algebrou, ale to je jiná otázka).
Grupa tedy může působit na „tečný vektor“ dg v okolí neutrálního prvku e grupy prostřednictvím „antiakce“:
(60) **AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) **x g
Dostáváme tak následující schéma:
(61)
Ale antiakce je duální k akci. Když existuje dualita, pak se zachovává skalární součin S.
Souriau proto hledal druhou grupovou akci, akci grupy na jejím prostoru hybností. Tato akce, nazývaná koadjointní nebo esenciální, nemohla však vzniknout přímo. Musel proto projít touto mezistupni, kterou jsem nazval „antiakcí grupy na jejím tečném vektoru“.
Takže hledaná akce vznikne jako duální k antiakci grupy na jejím tečném vektoru. A duální k antiakci je akce, která se zapíše jako:
(62) Ag(J)
kde J bude „hybnost“: konstelace veličin, které jsou vlastnostmi „hmotného bodu“, přičemž uvedená akce, nazývaná koadjointní, ukazuje, jak se tyto vlastnosti mění při pohybu.
Existuje grupa, kterou uvedeme později, která je rozšířením Galileovy grupy, která bude také uvedena později, a jmenuje se Bargmannova grupa (1960). Použitím této metody na tuto grupu lze sestrojit její hybnost JB a způsob, jakým grupa na ni působí.
Souriau má rád říkat:
Hybnost sleduje pohyb jako jeho stín.
Krásná metafora, převzatá z jeho díla „Gramatika přírody“. Hmotný bod se skutečně pohybuje v časoprostoru (x,y,z,t). Při tomto pohybu se jeho vlastnosti mění, což popisuje právě koadjointní akce grupy na jejím prostoru hybností.