skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnost
| 6 |
|---|
Nebudeme psát složky hybnosti Bargmannova grupy. Schématicky zapíšeme hybnost Bargmannovy grupy následovně:
JB = { skalár m, plus ostatní složky hybnosti }
Koadjointní akce ukazuje, jak se transformují jednotlivé složky hybnosti. Avšak tato koadjointní akce začíná jednoduchou vztahem:
(63) m' = m
Koadjointní akce Bargmannovy grupy na její hybnost začíná zachováním hmotnosti, která tak získává čistě geometrický status.
Sestrojení koadjointní akce Poincarého grupy na jejím prostoru hybností Jp**.**
Pokud jste už úplně ztracení, nechte to být. Je to normální a bude se to s každou stránkou stále více ztěžovat. Už nevím přesně, komu je tento text určen. Pravděpodobně teoretickým fyzikům nebo matematikům, ale jistě ne zedníkům. Ale student velké školy nebo bakalářského studia fyziky, který se drží, může následovat. Jsou to jen matice.
Vše začíná maticovou grupou typu (4,4), která tvoří Lorentzovu grupu, jejíž prvek je L.
Tyto jsou axiomatizovány pomocí matice G:
(64)
podle:
(65) tL G L = G
kde se objevuje transponovaná matice L.
Matice L tvoří grupu.
Důkaz.
Neutrálním prvkem je L = 1:
Nechť jsou L1 a L2 dva prvky množiny. Ověřme, zda jejich součin L1L2 patří do grupy. Pokud ano:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Avšak:
t( A B ) = t B t A
Tedy:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Nyní spočítáme inverzní matici k L. Vycházíme z axiomatiky prvků L:
tL G L = G
Vynásobíme zprava L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Vynásobíme zleva G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Tedy inverzní matice k L je:
L-1 = G tL G
Tedy:
(66)
prostorově-časový vektor. Matice G pochází z Minkowského metriky, kterou lze pak psát (pro c = 1):
(67)
Cvičení: ukázat, že inverzní matice splňuje:
(68)
Nyní zavedeme vektor časoprostorového posunu:
(69)
Z něj vytvoříme prvek gp Poincarého grupy:
(70)
Cvičení: ukázat, že to tvoří grupu, a spočítat inverzní matici:
(71)
Níže je „tečný vektor ke grupě“, prvek její „Lieovy algebry“:
(72)
Z toho spočítáme antiakci:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Z důvodu výpočtové pohodlnosti si všimneme, že:
(74) G d L
je antisymetrická matice. Označme ji:
(75)
takže:
(76)
Nyní položme:
(77)
Z tohoto materiálu sestavíme antiakci:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Po provedení všech výpočtů získáme aplikaci:
(79)
Pokud chcete tuto část jednoduchého maticového výpočtu přeskočit, obraťte se na rovnici (80), konec stránky.
(79a)
(79b)
z čehož plyne:
(79c)
ale:
(79d)
takže:
(79e)
ale GG = 1, tedy:
(79f)
z čehož plyne aplikace:
(79g)
Což je hledaná antiakce, aplikace:
(80)
