skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnost
| 8 |
|---|
(91)
Tato koadjointní akce může být zapsána ve formě maticové.
Matice Poincarého grupy je:
(92)
její transpozice je:
(93)
Zvažme matici:
(94)
To znamená, že budeme mít hybnost
(95) Jp = { M , P }
ve formě matice a vytvoříme součin:
(96)
(97)
(98)
který mohu identifikovat s maticí:
(99)
Jp je tedy hybnost Poincarého grupy, zapsaná ve formě matice. A koadjointní akce má tvar:
(100)
Jako cvičení si čtenář může na základě axiomů ověřit, že jde skutečně o akci.
Hybnost Poincarého grupy může být vyjádřena následovně:
(101)
Tato matice je antisymetrická (což znamená, že její hlavní diagonála je tvořena nulami). Matice M je:
(102)
Vyjádřeme ji:
(103)
Je to skutečně antisymetrická matice, jak bylo předpokládáno na začátku, závislá na šesti parametrech:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Poslední tři ( fx , fy , fz ) jsou složky vektoru, vektoru přechodu f:
(105)
První tři ( lx , ly , lz ) jsou nezávislé složky antisymetrické matice (3,3), otáčení l:
(106)
Takže:
(107)
Vektor P je čtyřvektor hybnosti-energie:
(108)
Nyní můžeme vyjádřit hybnost Poincarého grupy v celé její obecnosti:
(109)
Ověříme, že jde skutečně o objekt s deseti složkami (počet roven počtu rozměrů grupy).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}